Криволинейные интегралы первого рода

Оглавление:

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода. Дайте кривую y = {/•( / ) в 3-мерном пространстве 7 3;и I(см.§ 16).Рассмотрим однозначную функцию Γ, определяемую точкой r (7) этой кривой. Р = р(р(1)). если p (1), ss m, 6 та же кривая y и 1 = 1 (m) другие представления, а A = m ^ () отображение на сегмент[a, P]сегментов [a, b], то 1 = 1 (x), а t-rc p-допустимое преобразование параметров, а если сегмент [A, P] отображение на [b], то 1 = 1( x), а t-rc p-так как значение функции P определяется только точкой кривой、 П(р(х))= П(Р(Т ), Я =(м), agst <п. Рассматриваемая функция P обычно принимает различное значение в точке кривой, которая соответствует различным значениям параметра, но она совпадает как точка пространства(см. 16.1 для нескольких точек).

Эта точка зрения, например, соответствует физической интерпретации кривой y как траектории движения материальной точки. Людмила Фирмаль

А функции P-как некоторой силы, действующей на нее, и зависит не только от положения точки в пространстве, но и от момента, в который эта точка существует в данном пространстве. place. In кроме того, такой подход дает определенные математические преимущества. Это видно и в будущем. Из вышесказанного видно, что указанная функция, определенная на кривой, не может рассматриваться как функция, определенная в некотором множестве пространства K3, поэтому, строго говоря, она не может быть обозначена через P (x, y, r). Координаты пространственной точки. Однако в вопросе, который мы рассмотрим ниже, мы будем использовать это, поскольку такая нотация является традиционной. Если вы всегда помните, что в этих вопросах речь идет о функции, определяемой точкой кривой, то ее использование не приведет к недоразумениям. 47.1.

Первый вид интеграции кривых Сто восемьдесят девять Тогда r (5)= {x (5), y (z), r (α）; 0 = ^ 5 === 5}является его представлением, и переменная длина дуги 5 используется в качестве параметра, где A = r (0) и B = r (5) являются начальной и конечной точками этой кривой. В этом случае напишите y = AB. Обратная кривая обозначается буквой A. Определение 1.Учитывая функцию P в точке r (k) кривой y, выражение§P (x, y, r) a AB По формуле Восемь $ П (х, г, р) УГ = \ П(Х (З), Г(З), Р(З)) УГ,(47.1） AB 0 Называется интегралом кривой функции типа 1 P вдоль кривой AB. Этот Интеграл также обозначается символом 5 е [/(5)]Фзи^Р[г(э)]йз, или короче,\Рнз. AB V V Обратите внимание на конкретные характеристики интеграла (47.1) 1°. ^ УГ = 8. AB Это очевидно. 2°.

Если функция непрерыв непрерывна в точке кривой Y как функция параметра Z, то есть функция[[R (5)], 05-> 5 непрерывна, то интеграл Р присутствует. В Фактически, согласно определению (47.1), Интеграл В Пять Интегральный РР [х(.？(L3 непрерывной функции), y (z), r (s)] Ноль Известно, что есть отрезки вдоль. 3°.Первый вид интегрирования кривой не зависит от направления кривой. §П(х, г, р)УГ = \ П(Х, У, Z) УГ. АБ, ВА. Фактически, пусть M = r (s) длина точечной дуги AM кривой AB. если a = 5-5, то a равно длине дуги ВМ (рис. 188). § 47.Интеграция кривых Сто девяносто Заметим, что функция r-r (8-o), Osa> 5 является представлением кривой BA, поэтому она завершает изменение переменной$ 5-a с Интегралом (47.1) и является dz = w、 Пять 5 P (x, y, r) d $ = \ P [x（8）、1 /（5）、2（5）] 55 = AB 0 ^-\ п [х(8-п), г(8-О), Р(8-О)] у = Пять = \ П [х(8-п), г (3-О), Р (3-О)] Г = ^ р (х, г, р) йо.

ВА Эта характеристика первого вида интегрирования кривой обусловлена тем, что по определению учитывается длина дуги кривой. Положительный результат независимо от конца измерения. Прежде чем перейти к следующему свойству, все так\ P5 В Интеграл-это предел суммы соответствующих интегралов. Особенность в этом случае заключается только в том, что эти суммы могут быть описаны в геометрических терминах, связанных с кривой y, в которой выполняется Интеграл. Я скажу это более точно. 4°. m = {5.} (=o интервал[0, 5], b∈[5, 5.], D5,= 5, −5, -!Давайте разделимся! Длина дуги кривой y от точки r до точки (8^) м($ р)р = 1, 2,…, r0, и oX-2 ^ 1 /(?)] .

Таким образом, определение интеграла кривой 1-го типа связано с понятием кривой, то есть геометрического образа, но сводится к обычному интегралу на отрезке, так что все характеристики обычного интеграла переносятся на интеграл кривой. Людмила Фирмаль

Тогда функция 1 = 1 P [r(5)] может быть римановым интегралом в интервале[0, 5]、 Пятница= \ П УГ. (47.2） Хм… Действительно, x, по-видимому, является интегральной суммой Римана интеграла§^ [/©]&, и поэтому выражение (47.2) является прямым О Продолжайте естественным образом от (47.1). Формула (47.1) является интегралом\ p d. It очень полезно посмотреть на свойства 8, но это не всегда удобно для его расчета. В Потому что часто очень трудно или почти невозможно найти представление данной кривой. 47.2.Тип 2 интеграция кривых Сто девяносто один Берется переменная длина дуги. Показать поэта.

Криволинейные координаты.	Криволинейные интегралы второго рода.
Замена переменных в n-кратном интеграле.	Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой.