Критерий Коши сходимости последовательности с формулами

Оглавление:

Критерий Коши сходимости последовательности

Эталонная последовательность Корси сходится. Определяя последовательность сходимости, исследование сходимости последовательности{CP}требует, чтобы была оценена разница между элементом CP-a последовательности и его предполагаемым пределом a. Огюстен-Луи Коши был французским математиком (1789-1857).

Другими словами, нам нужно предсказать значение предела a этой последовательности. На этом этапе вводится понятие базовой последовательности для установления»внутреннего» критерия сходимости последовательности, сходящейся только по размеру ее элементов, и установления таких критериев с использованием величины предполагаемого предела этой последовательности. Для любого положительного числа e последовательность{CP}задается, если для каждого числа n существует число N,

удовлетворяющее условию n ‘ ^I, и произвольное натуральное p (p=1, 2,…Выполняется Людмила Фирмаль

следующее неравенство |Л-п+п%п/э. Две важные характеристики л у Б О М е н д А М Е Н Т А Л О С Л Е Д О В А Т Л Н О С Т Я. С В О Й с т в о 1. Для любого положительного числа e существует элемент базовой последовательности XY, и в окрестности e этого элемента XY находятся все элементы этой последовательности с числом n, удовлетворяющим условию p> — D. Другими словами, если e>0, то существует элемент базовой последовательности XY, и вне этой окрестности e находится элемент, меньший или равный конечному числу элементов в этой последовательности. Чтобы доказать это

свойство, нужно зафиксировать любое положительное число e и принять число n равным N в определении базовой последовательности…) Элементы базовой последовательности удовлетворяют неравенству|Lchg+p-XY. /0. Поскольку последовательность{CP}является базовой, то этот#(Благодаря свойству 1)имеет элемент HLG, где каждый элемент CP с числом n^Y удовлетворяет неравенству. БГ-е<ХП<горячеоцинкованной+Е. Обозначим наибольшее из следующих (L^+1) чисел через A:|x±|| / x2[,…, / АНГЦ-11,е|, / горячеоцинкованной+е|. Тогда, очевидно, для всех чисел p является истинным неравенством|XTA / C L, что означает ограниченный массив{x»}. Было установлено, что это был секс 2.

Докажите следующую вспомогательную теорему: А3. 17 для того чтобы последовательность{XP}сходилась, необходимо и достаточно, чтобы ее верхняя и нижняя границы x и x совпадали друг с другом. Д О К а з а т е л ь с Т В О. 1) потребность. Сходимости последовательности{ХП}. Он имеет границу (благодаря теореме 3.8) и имеет одну точку разрыва (благодаря Лемме 1 в этом пункте 1). Это означает, что его верхний и Нижний x и x совпадают друг с другом. 2) достаточность. Пусть последовательность{x»} ограничена(благодаря теореме 3.16, она имеет верхний x и Нижний x), и пусть x=X. x=x=x^теорема 1 благодаря 3.16 3 определения последовательности сходимости (см. пункт 4§1), это доказывает теорему 3.17, что означает,

что последовательность{CP}сходится к пределу X. Давайте теперь докажем следующие наиболее важные теоремы. 3.18 (К Р и Тер и Й К Ош и с Н О Д и М О С Л Е Д О В а т е л ь н о с т и). Необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной для сходимости последовательности{CP}. Д О К а з а т е л ь с Т В О. 1) потребность. Сойдем последовательность{CP}к некоторому пределу X. Так как последовательность{CP}сходится к пределу x, то для положительного числа e/2 существует такое число N, что n становится всем n^i104 Глава 3. Теория пределов / ХП-х/<е/2.

(3.54) если p—произвольное натуральное число, то во всех случаях даже неравенство|CP+P-x / x, любое e>0, то справедливо неравенство 0т. е. x=X следует этим Людмила Фирмаль

неравенствам. Мы применяем критерий Коши к элементу последовательности P ASX O d и m o s ti{CP}x » =1 4- — + я не уверен… + — . Два. п Обратите внимание, что для любого числа n, если натуральное число p равно n, вы получаете это для каждого числа n *В самом деле, если разность x-x равна положительному числу a, то если e-число a/3, то x-x^2E. противоречат неравенству в §4. Предела функции 105 Один. П+1 +1 п+2 Два._ 2′ Подчеркивание равно Сумма содержит N слагаемых. Один. 2Р’ Таким образом, положительное число e= — число N не существует.всех и любого натурального П неравенство|ХП+Р-ХП|<Е действует. Это означает, что учитываемый

порядок не является фундаментальным, а расходится (по критерию Коши). В качестве второго примера мы применяем критерий Коши для установления сходимости последовательности{CP}с элементом CP==1+g/+… +^n, где d-любое число интервалов 0<^<1. Любое число n и любое натуральное число p(p -, =1,2,…) Просто неравенство 1^, — I n N1+d+… +<Гр)—(1+=ЯП+1+<г+2 + — • • + ЯП+Р=ЯП+1-г^+1+п (3.56) 1 — \ » 1-й Исправьте все положительные значения.0< < 7 < 1 последовательность{<7″}бесконечно мала, поэтому для положительного числа e (1 — <7) все неравенства<G<e(1~?да что с тобой такое? (3.57) Это следует из неравенства (3.56) и (3.57), оно следует для всего и для каждого естественного p . . . Е (1-й) 1^+р-~е» Это означает, что рассматриваемая последовательность является фундаментальной и сходится(по критерию Коши).

Предельные точки, верхний и нижний пределы последовательности	Понятия переменной величины и функции
Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов	Предел функции по Гейне и по Коши