Оглавление:
Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов
- Краткая информация о корнях алгебраических многочленов. 1°. A l g e b R a I h e s K I m n o g h e n o m n-й степени является выражением вида f (z)=cazn+CiZn-l+… +cn_1z+СП,(8.16), где Z=(Х, г)=х+IY и является переменной комплексное число, ко, С, я, с»какой-постоянное комплексное число, в первом из которых отлично от нуля. Как известно, алгебраические многочлены степени p можно подразделить на алгебраические многочлены степени не выше p в»Столбцах». Таким образом, мы приходим к следующему
утверждению:какими могут быть два многочлена f (z) и 0. *** Здесь мы используем следующее утверждение: если многочлен f (z)=-aoz n-t-alz n -,+…-i-a » lz-l-dn равно нулю, и все его коэффициенты равны нулю. На самом деле, если f(z)=O, то в z-O AP=0. Не тогда, когда f (z) sz[aoZ n_I+aizn_2+…+e n-i] s равно 0. Поскольку Z^O, выражение, заключенное в квадратные скобки, равно нулю, а при z=0 получается Lp|=0. Если вы продолжите подобные рассуждения дальше, то докажете, что все коэффициенты равны нулю. Основываясь на этой теореме, мы докажем, что алгебраические многочлены n-го порядка имеют
ровно n*. Согласно основной теореме алгебры, f(z) является по крайней мере одним корнем B\, то есть представление/(g) f(z)=(Z-fe1) f1 (z) Людмила Фирмаль
справедливо, а (8.191)—степень многочлена (n-1) /G=и=1, так что fi (z) имеет по крайней мере один корень fe2. выражение l (2)=(2-b истинно 2)/2 (2), (8.192) Здесь F3 (z) обозначает многочлен степени (n-2). Далее, повторяя вышеприведенные рассуждения, получаем выражение f2(z)=(z-b3) f3 (z), (8.193) f «_1(z)=(z-b») f»(z). (8.19″) в конце этих выражений полином нулевой степени представлен fn(z), то есть fn (z)=c=const. Если мы сравним равенство (8.191)—(8.19″) и/»(z)=c, то получим f (z)=(z-bt) (z-b2)…(z-bn) c. (8.20)заметим, что комплексная константа C не равна нулю. ** Из равенства (8.20) ясно, что f (b i)=f
(b2)=…=f (bn)=0, т. е. число blt b2 соответственно…, B » — корень многочлена/(z). Кроме того, это ясно из (8.20), независимо от комплексного числа B, отличного от bi, b2…комплексное число, bn,§3. Класс 309 интегрируемых функций в базовой функции f (b) не равно нулю*. Таким образом, многочлен f (z) имеет ровно n корней:B2…..СТР. *Для произведения некоторых комплексных чисел оно равно нулю только в том случае, если хотя бы один из факторов равен нулю(см. пункт 1). ** Используйте инструкцию здесь… … +A » и boz n+b1z n -! +…- l-bn одинаковы друг для друга, и тогда A0=BG,, … an-bn. чтобы доказать это, p.It достаточно применить к этим полиномиальным различиям, которые перечислены в сноске 308**. Уравнение (8.20) дает
- факторизацию многочлена f(z). Если известна форма многочлена f (z) (8.16), то можно определить константу C в уравнении (8.20). Сравнивая коэффициенты формул (8.20)и (8.16) zn, получаем полином C=c0-*(8.16), где C=1 называется PR, а e d ech-n s m…(z-bn). (8.21) в будущем мы будем рассматривать данный многочлен, если не указано иное. Некоторые корни многочлена/(g) могут иметь совпадающие корни. Пусть a, B,…Корни C-R A z l и h n s E редукционные многочлены f (z). Тогда для этого многочлена выражение в виде(8.21)принимает вид уравнения с f(z)=(z~a) a (z—b^)…(z-c) y. (8.22) в этом разложении a, 0,…, y-это несколько целых чисел, каждое из которых, по крайней мере, одно, a+p+… Где n-степень
многочлена f (z). ■Если факторизация(8.22) верна для многочлена f(z), то комплексное число a называется кратным K o R n e M f(z), а комплексное число b кратно K o R n e m f (z)… Комплексное число C равно K o R n e m F (z)раз и y. Корневая кратность равна единице,называемой о д Н О К Р А Т н ы м,а корневая кратность больше, называемой п а т н ы м. Мы можем дать другое определение эквивалентности корней данной кратности: комплексное число a называется многочленом f (z) раз K o R n e m, где выражение истинно для f (z).) /(g)=(g-a)»f (g), где<p (a) = £O.(8.23) 3°. Теперь f (z)=z
n+ciZn-1+c2zn-z+…+CN(8.24) редуцированный алгебраический многочлен с коэффициентами Esch e n y m и c x C2…СП.310Ч. 8. Первичные и Людмила Фирмаль
неопределенные интегралы Доказано, что этот многочлен обладает следующими важными свойствами. Т Е О Р Е М А8. 3. Комплексное число a является корнем многочлена с вещественным коэффициентом кратности (8.24). K, а сопряженное комплексное число a также является корнем этого многочлена той же кратности l. Д О К а з а т е л ь с т в о. Во-первых, если f (z) — многочлен с действительными NN y m и коэффициентами, то комплексное значение f(z) сопряжено со значением f(z). Коэффициент многочленов (8.24) является вещественным, поэтому для доказательства этого факта достаточно подтвердить, что комплексное число для любого числа n: величина (g)»сопряжена относительно zn, но этот * конец
сразу следует за тем же самым из доказанного утверждения в конце пункта 1, точнее, из соотношения (8.14″) это отношение Zi=z2=то же отношение (8.14″),£I=Z2, Z2=Z, и (Z3)=(?) z=(7) 3. Продолжая аналогичное рассуждение, вы увидите(z ‘ 1)=(z) fl для любого числа p. Таким образом, доказано, что величина f (z) сопряжена относительно величины f (g)., = (8.25)) Комплексное число a является корнем многочлена с вещественным фактором F (z)кратности X, т. е. выражение f (z)=(z-a)HF (g), (8.26} Кому? < p (p) Яо. Из сравнения между (8.27) (8.26) и(8.25), f(z)=(z—a) h(z), и последний эквивалент(8.14″) может быть переписан как/(z)=(z—a) x f (g). Обратите внимание, что
эквивалентность (я—А) х=(г—а) х=(Г—А) K является действительным, благодаря соотношению (ЗН)=(г-а») выше (8.28). (8.29)§3. Класс интегрируемых функций в базовой функции 311 Подставляя (8.29) и (8.28), получим выражение, где f (z)=(z—a) LF (2), а (8.30) f (g) представляет собой значение f (x)=f (g). Для завершения доказательства теоремы 8.3,*, f (y)=^=O, но это следует из того, что непосредственно»(8.27) согласно<p (a) * не применяется.доказана теорема n * ul 8.3.
Смотрите также:
Методическое пособие по математическому анализу
| Условия монотонности функции на интервале | Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов |
| Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа. | Свойства рациональных чисел |
