Краткие сведения о комплексных числах

Краткие сведения о комплексных числах

• Краткое изложение комплексных чисел. Два действительных числа x и y мы называем y p o R i d o h e n o N O Y парируем, какое из этих чисел является первым, если оно указано, это упорядоченная пара действительных чисел x и y обозначается символом (x, y) и записывает сначала первый элемент этой пары. Порядковая пара вещественных чисел (x, y), из которых первое x называется D-E-й частью St Vit частью, а второе Y-m n и M O-й частью, в случае этого комплексного числа может рассматриваться как комплексное

множество всех вещественных чисел, благодаря чему мнимое из y представляется в виде Два комплексных числа 2i=(xb y) u.z2=(x2, y) называется равным m, и если X\ — x2, то Y\ — Y2-комплексное число z=(x, y) p a n o N uly, e SL и x=0 и y=0. Определяет операции сложения и умножения комплексных чисел. Поскольку действительные числа являются подмножеством комплексных чисел, эти операции

должны быть следующими: применительно к двум действительным числам они определяются так, чтобы привести к определению суммы и Людмила Фирмаль

произведения действительных чисел, уже известных нам из главы 4,§2. В двух комплексных числах Zi=(xi, y) и Z2=(x2, YD) мы называем комплексное число z в виде z=(X1+x2, z/i+g/g). (8.13)P r o I z e d e n i e m двух комплексных чисел Z=(Xi,y) и z2=(x2,uz) Z=(X1X2—Y1U2,X^yz+Xzyi) (8.14) легко проверить, что сумма и произведение комплексного числа имеют те же свойства, что сумма и произведение действительного числа. Следующие свойства — 1°. zi+z2=z2+Zi (характеристики полного смещения). 2°. (zi+z2)+2 3=z i+(22+23) (комбинированные

характеристики суммы). 3°. 2-B(0,0)=z(особая роль числа (0,0)). 4°. В каждом числе z=(x, y) есть такое противоположное число z’=(—x—y), где z+z’=(0, 0). 5°. zi-Z2=Z2-Zi (характеристики смещения продукта). 6°. (зі•и Z2)-Z3 и=Зи■(22-и Z3) (комбинированный продукт характеристики). 7°. 2-(1,0)=2(особая роль в числе(1,0)).§3. Класс интегрируемых функций в базовой функции 305. 8°. Любое комплексное число z — {x, y), если оно не равно нулю 1, обратное z’——2- z’=(1,0). 9°. (zi+z2)-z3=zi-z3+z2-z3 (распределение характеристик

• продукта по сумме). Характеристика 1°-9°позволяет утверждать, что в случае комплексных чисел все правила базовой алгебры, связанные с комбинацией арифметических операций и уравнений, прекрасно сохраняются. Кроме того, эти свойства прекрасно решают задачу вычитания комплексных чисел как реципрокного сложения и деления комплексных чисел как реципрокного умножения. Два комплексных числа Zi=(xi, y) и z2=—(2, y) называются комплексными числами z, такими, что они дают zj в сумме с z2. Свойство 1°-4°существование и единственность разности между двумя произвольными комплексными числамиявляется установленны

м базисом. Для этого следует дословно повторить рассуждения, изложенные в гл. 2! Для случая разницы между двумя реалами (см. Главу 1, Главу 5, Главу 2). Легко заметить, что существует разница между двумя комплексными числами. 21=(%1, g / i) и z2=(x2, Y2) являются комплексными Zs вида z=(x t—x2;yi-y2). (8.15) H AST NY m два комплексных числа Zi=(xi, g/i) и z2=(x2, Y2), второе из которых называется комплексным числом, которое не равно нулю-с помощью Zi задано свойство 5°-8°при умножении на z2, единственным частным из двух указанных комплексных чисел является комплексное число z вида. это легко быть …. / Лдгх+УТП Чу^ — Чуг \ \g играет особую роль-обозначается числом, представленным парами (0, 1) и буквой i.(0, 1)

• (0, 1) = (-1 ,0 ) = — 1 , то есть, i2=-1. Если вы заметили это, вы можете преобразовать любое комплексное число z=(x, y) в z=(x, y)=(x, 0)+(0, g/ -) Людмила Фирмаль

=(x, 0)+(y, 0) ■ (0, 1) =x+iy. В дальнейшем мы будем широко использовать выражение z=x+iy для комплексного числа z=(x, y). Эта точка зрения-.306Ч. 8. Первичные и неопределенные интегралы И если вы думаете об этом как о коэффициенте, где i равно -1, вы можете выполнять операции с комплексными числами так же, как это выполняется с алгебраическими многочленами. Комплексное число z=(x-y)-x-iy называется sopr I f e n n s m для комплексного числа z=(x, y)==x+iy. Понятно, что комплексное число равно нулю только в том случае, если сопряженное числоравно нулю. |L— — H / f I / V~11VZ y<«системы эквивалентно системе<1/7=0 (- z / =0). В геометрическом

представлении комплексного числа удобно использовать прямоугольную систему координат. В этом случае комплексное число z=(x, y) представляется либо точкой M с координатами (x, y), либо вектором OM от начала координат до точки M. Таким образом, сложение и вычитание комплексных чисел сводятся к сложению и вычитанию соответствующего вектора (это видно из выражений(8.13) и(8.15)). Непосредственно из определения произведения двух комплексных чисел (8.14) выглядит так: На практике, если хотя бы одна из цифр zi=(xi, y) и-G2=(x2, g/g) равна (0,0), то из (8.14) в g=2122 = =

(0, 0). И наоборот, если g=g1g2 равно (0,0), то это следует из (8.14 U1U2- g/1X2+hgu2=0, (8.14′) И если g^(0, 0), т. е. xf-F g/f=#=0, (8.14′), тогда такая система двух уравнений для 2 неизвестных x2 и g/g с ненулевым определителем x^+y^имеет тривиальное решение, т. е. 0,0 = z2=(x2,g/2)=(). Непосредственно из определения произведения двух комплексных чисел (8.14) следует другое у Т В Е Р Ш Е Н И Е: сопряженность комплексных чисел с произведением двух (а следовательно, и нескольких) комплексных чисел соответственно. ( % ) =V2 — (8.14″)§3. Класс 307 интегрируемых функций в базовой функции Вы можете легко проверить, что правая и левая части(8.14″)равны одному и тому же комплексному числу(%ix2-Y\Y^ — X{Y2-X2})

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Гиперболические функции	Второе достаточное условие перегиба
Признаки монотонности функции	Предел интегральных сумм по базису фильтра