Оглавление:
Ковариантное дифференцирование
- Ковариантное дифференцирование. Координаты Галилеи 2) Дифференциал dAi вектора Ai Формируем вектор и дифференцируем составляющие вектора d A i / d xk Они образуют тензоры по координатам. В криволинейных координатах Дината Это не тот случай. dAi не является вектором и d A i / d x k не является вектором Есть тензор.
Это связано с тем, что dAi является векторной разницей. Место в разных (близких к бесконечности) точках в пространстве stv; вектор преобразуется в другой точке пространства Потому что коэффициенты формулы преобразования разные (83.2) и (83.4) являются координатными функциями. Это легко проверить напрямую.
Ковариантное векторное преобразование По формуле Таким образом Людмила Фирмаль
Для этого Дифференциальный дАи Кривые координаты. , W, k, W, k W, k, B2t, k J dAi = -dA’k + A kd — = — dA’k + A’k ^ ^ d x l. g dhg k в dhg dhg в cdhgdh1 Следовательно, dAi вообще не преобразуется в вектор (после этого Конечно, то же самое относится и к контравариантным производным. Вектор).
Только для второй производной d2x gk / d x gdx1 = 0, то есть когда x и k являются линейными функциями От x формат формулы преобразования d A- ^ dAf То есть dAi конвертируется как вектор. Здесь мы обрабатываем определение тензора, чтобы играть В криволинейных координатах роль галилеева тензора d A i / d xk Выходные координаты. Это означает, что вам нужно конвертировать D A i / d xk от координат Галилея до кривой.
- Чтобы получить координаты кривой Если вектор является вектором, вам и вам нужны оба Что-то читаемое из другого вектора было в какой-то момент Пространство. Я имею в виду, как-то «Отрисовывает один из двух почти бесконечных векторов в точку, Где второй, то определите разницу между обоими Вектор, относящийся к одной и той же точке пространства Государство.
Сама операция передачи должна быть включена в это определение Лена, как показывают координаты Галилея Разница соответствовала нормальному дифференциальному значению dAi. по Потому что дАи просто бесконечная разница между двумя компонентами Близкий вектор, в результате операции Транспорт при использовании координат Comp Galileo Вектор вектор не может быть изменен. Но есть такая передача Нет ничего, кроме передачи векторов, параллельных самой себе.
линейных координатах с такой передачей Вообще говоря Людмила Фирмаль
При параллельном переносе вектора компонент является Координаты луча не изменены. При использовании Кри В линейных координатах с такой передачей Вообще говоря, вектор меняется. Поэтому согнуты Линейные координаты, на разнице между компонентами обоих векторов Переместив одну из них во вторую точку, Не соответствует разнице перед передачей (т.е. разнице Даи).
Так что при сравнении двух почти бесконечных век Тори нам нужно обработать один из них параллельно До точки, где находится второй. Рассмотрим некоторые 11 Л.Д. Ландау и Е.М. Рифшит. Том II 322 Гравитационное поле Глава X Контравариантный вектор, значение в точке с координатами натами xg есть A g и равно A g + в соседней точке xg + dx1 + дАл. Выставить вектор Ar на бесконечно малый параллелизм Переход в точку xr + dxr \ изменить в этом случае После 6Аг.
Тогда разница D A 1 между обоими векторами равна Теперь равно в какой-то момент DA * = dAl-6A \ (85,1) Изменение компонента 5Ag бесконечно малого вектора Параллельная передача зависит от размера самого компонента. Кроме того, эта зависимость должна быть четко линейной.
Это Сумма двух векторов Он не может быть преобразован в соответствии с теми же правилами, что и каждый из них. Поэтому формат 5Ag 6А * = -Гк1Акс1х1, (85,2) Где Тгк1 — некоторая функция координат, формат которой зависит Конечно, от выбора системы координат, все в системе Галилео R |, = 0. Отсюда уже видно, что величина Ггы не образует тензор. Тензор, равный нулю в одной системе координат Ноль и все остальное.
Невозможно в искривленном пространстве Выбрав координаты, вы можете обнулить все гΓ1 где угодно. Тем не менее, в принципе эквивалентности, Выбирая систему координат, которая может быть исключена Важное поле в этой минимальной части пространства Другими словами, чтобы исключить значение Tk. См. §87 ниже о роли силы в этой области 1).
Сумма Tgk1 является фактором связи или Символ Христофора Также используйте следующую величину ΓΓ, / c / 2). Он определяется следующим образом: G, s = SimTTi. (85,3) Обратное: rL = gimr m> fc /. (85,4) Легко связать и изменить компоненты ковариантных векторов Дефисы параллельно с символом Кристоффеля. Для этого В скалярной параллельной передаче, очевидно, Не меняйся.
В частности, он не меняется параллельно Скалярное произведение двух векторов. Пусть Ai и Br ковариаты и некоторые ковариаты Неизменный вектор. Далее из S (AiBl) = 0 B * 6Ai = -A iSBi = VklB kAi <lxl, Или, изменив значение индекса, g5Ag = TkAA кВ g dx1. По этой причине намерение B 1 учитывается. 6Ai = r ^ A k dxl, (85,5) определить ковариантное изменение вектора при па Параллельная передача. дА1 /
Подставляя (85.2) и dAl = dx1 в (85.1), D A ^ ^ + T ^ A ^ d x 1. (85,6) Точно так же найдите ковариантный вектор: D A i = (^ -T iklA k) d x l. (85,7) Выражения в скобках в (85.6) и (85.7) следующие. Тензорные, потому что они снова умножаются на вектор dx1 Вектор. Очевидно, они являются тензорами Выполните желаемое обобщение концепции производных век Тора в изогнутые координаты.
Эти тензоры Ковариантная производная векторов i * и i *. Они обозначены Ar. & И Ac ^. Вот так D A i = A i; tdxl, DAi = Ai-t d x \ (85,8) И сама ковариантная производная: + (85-9) A i; l = ^ r-F i l A k- (85.Y) В координатах Галилея Tgk1 = 0 и ковариантная производная Всегда входит. 11 * 324 Частицы гравитационного поля Глава X Легко найти 10 ковариантных производных Золя.
Для этого необходимо определить изменение тензора Бесконечно малые параллельные переводы. Например, Некоторые контравариантные тензоры, которые генерируются Двум контравариантными векторами к AgB. У нас есть 6 (A * Bk) = Ai8B k + B k5A * = — Воздух, кмБ дд хм-B кТ \ мAldxm.
Из-за линейности этого преобразования, Для тензорного Агка: 6Aik = — (. AimYkml + AtkGt1) dx1. (85.11) Назначьте это D A ik = dAik-SAik = A ik.t dxl, Найти ковариантную производную от тензора Aik в виде Aik; i = ^ + Tm1Atk + G ct1A ™. (85.12) Найти ковариантную производную точно таким же образом Форма смешанных и ковариантных тензоров А б ‘= я? — + g ^ l ”’ (85LZ) A *. ,, = (85.i4)
Аналогично, ковариаты могут быть определены Тензорная производная любого ранга. Это дает вам: Ковариантное правило дифференцирования: получить Ковариантная производная тензора А \ по обычному х \ Исходный dA \ «/ dx1 каждого ковариантного индекса r (A» ^) Добавьте термин -Г ^ А «^ и для каждого контравариантного индекса % (Al [) term + Grk1A’k \ должен быть добавлен Ковариантная производная
С работы это всегда одно и то же правило Производная от работы. Кроме того, ковариант Воду из скалярного ip нужно понимать как нормальную производную. То есть ip ^ = g (p / dxk, Это Dip = dip, потому что скаляр 5 <p = 0. Например, с Производная антенны произведения A {B ^ is (A iB k) .j = Ai-iBk + A iB k-i.
Увеличение показателя ковариантной производной Дифференциация, так называемая Вариант производной. так A ‘k = g klA i; l, A i’- k = g klA i.l. Получение формулы преобразования из одной системы Еще одна координата для символа Кристоффеля. Эти формулы могут быть получены путем сравнения законов По обе стороны уравнения, определяющего любую из ковариаций
Запрос производных антенны, и оба эти закона Стиль был таким же. Простой расчет приводит к формуле rg tl / t dx% dh’p dh’r I d V m dhg («^ 1 ^ от кд до прдх, т дхк дх1 дхкдх1 дх, т’1)) Эта формула показывает, что количество работает как тензо Только для линейного преобразования (Когда второй член в (85.15) исчезает). Отметьте, однако, что этот член симметричен в index / c, Z.
Следовательно, если разность Skl = Тг-Тг1к сформирована, она будет потеряна. Следовательно, он конвертируется по тензорному закону. ni _ s / t®x% dx> P dx> P s ~ pr dh, t dhk dh1 ′ То есть это тензор. Называется твист-тензор Блуждая. Теперь мы Принцип эквивалентности, торсионные тензоры должны быть равны В ноль. Конечно, как уже упоминалось, благодаря этому Должна быть система координат «Галилея»
В этот момент количество Tkk1 исчезает, а затем против С лкл. Скл — тензор, поэтому он равен Ноль для одной системы, ноль для любой системы Координаты. Это персонаж Кристофера Симметричный по нижнему индексу: N = r {*. (85.16) Очевидно, и Γ, kl = ^ i, lk- (85.17) В общем, значение Tgk1 составляет всего 40. 10 разных значений для каждого из четырех значений индекса g l пара значений индекса в I ( Установка на.
Я такой же). 326 Частиц гравитационного поля Глава X Выражение (85.15) при условии (85.16) Заявление о возможности выбора выше Система координат исчезает во всех Тгк1 Очки выдаются заранее (такая система Инерция Карно или местная геодезическая, см. § 87 1). Конечно, данные баллы выбираются следующим образом
Происхождение и значение Tgk1 включаются первыми (R ^) o значение (координата xr) -генерируется вблизи этой точки Конверсии газа Xn = xi + ^ (Gk1) 0x kx 1. (85,18) T ° GDa (d 2x, t dx * \ ./ ОС 1PL \ d x cd x 1 d x ‘t) o〜 ^ s ^ ^ ° ^ ^ (85.15) все исчезнет. Здесь мы подчеркиваем, что условие (85.16) является существенным.
Левая часть уравнения (85.19) является симметричной по индексу Таким образом, Z, поэтому правая сторона должна быть симметричной Равенство. Для конвертации (85.18) (D ^ \ _ я \ dhcho ~ dk ‘ Следовательно, значение тензора не меняется ( le тензор г ^) инверсия символа в данной точке Кристофер до нуля может быть выполнен одновременно Вернитесь в сердце
Смотрите также:
| Криволинейные координаты в физике | Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором |
| Расстояния и промежутки времени | Движение частицы в гравитационном поле |
