Комбинаторное мышление - Тренировка способности младших школьников решать комбинаторные задачи

Оглавление:

Область математики, изучающая, сколько различных комбинаций может быть образовано из заданных объектов при определенных условиях, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в 16 веке. Вопросы азартных игр были движущей силой в его развитии. Комбинаторика — это раздел дискретной математики, который занимается решением задач выбора и расположения элементов множества в соответствии с заданными правилами и ограничениями. Каждое такое правило определяет способ построения комбинаторной конфигурации, поэтому комбинаторный анализ (комбинаторика) занимается изучением свойств комбинаторных конфигураций, условий их существования, алгоритмов построения и оптимизации этих алгоритмов. Эта отрасль математики тесно связана с рядом других отраслей дискретной математики: Теория вероятностей, теория графов, теория чисел, теория групп и т.д. Комбинаторика, имеющая многовековой путь развития и нашедшая свои собственные методы исследования, с одной стороны, широко применяется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.

Сейчас комбинаторные методы используются как в самой математике, так и за ее пределами — в теории кодирования, экспериментальном проектировании, топологии, конечной алгебре, математической логике, теории игр, кристаллографии, биологии, статистической физике, экономике и т.д.

В школьной программе комбинаторика преподается наряду с вероятностью и статистикой. В последние десятилетия элементы теории вероятностей и комбинаторики вводились как часть курса математики общеобразовательной школы или не рассматривались вовсе. То внимание, которое уделяется этой теме во всем мире, говорит о том, что концепция ее внедрения актуальна.

В настоящее время никто не ставит под сомнение необходимость включения вероятностной статистики в школьную программу по математике. Необходимость изучения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школе давно обсуждается. В конце концов, именно изучение и понимание комбинаторики, теории вероятности и статистических проблем наиболее востребовано в нашем перенасыщенном информацией мире.

Но внедрение вероятностно-статистической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, прежде всего, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и учебников.

Современная концепция школьного математического образования ориентирована в первую очередь на учет индивидуальности ребенка, его интересов и талантов. Это определяет критерии отбора содержания, разработку и внедрение новых, интерактивных методов обучения, изменение требований к математической подготовке учащихся. Если целью является не только обучение математике, но и формирование личности посредством математики, то с этой точки зрения становится актуальной задача развития вероятностной интуиции и статистического мышления у всех студентов. И сегодня речь идет о работе с вероятностно-статистическим материалом в обязательном курсе начальной школы «Математика для всех» как части самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

По мнению ученых — физиологов и психологов — в средней школе интерес к учебному процессу в целом, и к математике в частности, заметно снижается. При преподавании математики в начальной школе, с пятого по девятый класс, по привычной схеме и с использованием традиционных материалов у учащихся часто возникает ощущение непроницаемой стены между объектами обучения и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, может помочь восстановить интерес к самому предмету «математика», способствовать повышению его значимости и универсальности.

Знакомство студентов с очень специфической областью математики, где между однозначными «да» и «нет» есть еще и «может быть» (и это «может быть» поддается строгой количественной оценке), помогает избавиться от глубоко укоренившегося чувства, что происходящее на уроках математики не имеет никакого отношения к окружающему миру, к повседневной жизни. Студенты видят прямую связь между математикой и окружающей действительностью, реальной жизнью.

В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматриваются только как средство вычисления вероятности, что влияет на содержание этого материала в учебниках и место его изучения. Но комбинаторика ставит перед собой и другие цели: прежде всего, это развитие мышления и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера.

Тренировка способности младших школьников решать комбинаторные задачи

Математика особенно увлекательна для учеников, которые умеют решать задачи. Обучая детей решать задачи, мы оказываем значительное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и языка.

В последние годы все чаще звучат призывы усилить развивающий потенциал обучения математике в начальной школе. Традиционная система пыталась решить эту проблему, время от времени включая нестандартные задачи. В качестве такого материала служит использование элементов комбинаторики. Задания комбинаторного характера по-прежнему относятся к заданиям повышенной трудности, они не связаны с освоением основных вопросов курса и не согласованы с логикой структуры его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в уроки эпизодически и случайно, что значительно снижает их развивающий и дидактический потенциал.

Теория вероятностей» относится к содержанию основного и повышенного (полного) общего образования. С 2011 года задания из этой предметной области включены в экзамен ГИА по математике (новая форма) в 9 классе, а в 2012 году задание по вероятности, статистике и анализу данных было включено в часть 1 Единого государственного экзамена по математике в 11 классе. Комбинаторные задачи включены в задания математической олимпиады и оцениваются высшим баллом.

Необходимо включать комбинаторные задачи в учебный процесс в определенной системе и с постепенным увеличением сложности, чтобы дать студентам максимальную степень самостоятельности в поиске решений.

Таким образом, возможно и целесообразно использовать комбинаторные задачи в углубленном курсе элементарной математики как средство освоения программного содержания без перегрузки учащихся дополнительной информацией, знакомящей с фундаментальными понятиями содержания курса.

В начальной школе комбинаторные задачи ставятся в виде элементов комбинаторики, теории графов, элементов вероятности и описательной и наглядной статистики. Тот или иной материал на эту тему уже давно присутствует в учебниках по математике. Например, в учебнике «Школа России» М.И.Моро есть комбинаторные задачи:

Как часто цифра 0 встречается в числах от 1 до 100? Цифра 1?
Все трехзначные числа записаны в ряд. Сколько цифр в эту серию?
Чтобы открыть сейф, необходимо угадать код. Известно, что код — это трехзначное число, записанное через три из цифр 1, 2, 3, 4, и это число больше 400. Сколько цифр нужно проверить, чтобы определить код?
В соревнованиях участвуют 8 футбольных команд. Согласно правилам, проигравшая команда выбывает после каждого матча. В какой день будет определен чемпион?
Саша выше Коли, но ниже Петра, а Петр ниже Толи. Кто выше их всех? Учителя пометили их как нестандартные задания, чтобы они могли включать или не включать их в урок по своему усмотрению. Сейчас ситуация изменилась. Например, в национальных образовательных стандартах для общеобразовательных начальных школ в качестве предметного результата базового обучения математике EAL названо умение действовать по алгоритмам, составлять простые алгоритмы, исследовать, работать с таблицами, диаграммами, графиками, цепочками, комбинациями, представлять, анализировать и интерпретировать данные, т.е. решать простые комбинаторные задачи. Новое содержание, требование к уровню образования учеников предполагает более тщательное осмысление методики преподавания этих разделов математики.

Это связано с требованиями времени, наличием большого количества вероятностных ситуаций в жизни, проблемами выбора, оценкой степени вероятности успеха, интересами студентов.

Основная функция комбинаторных заданий в начальных классах — создание условий для формирования приемов умственной деятельности (анализ и синтез, абстрагирование), для развития произвольного внимания и образного мышления, а также для усвоения тех вопросов, которые включены в содержание программы. Для реализации этих условий я провожу элективный курс «Комбинаторные задачи».

На факультативных занятиях я знакомлю учащихся с наиболее распространенными методами поиска, показываю, что поиск по какому-либо признаку (условию) должен быть логически упорядочен, неважно, насколько он прост: по возрастанию, по алфавиту, слева направо или справа налево, сверху вниз или снизу вверх и так далее.

Рассмотрите типы проблем в каждом разделе и их решения.

Вероятность. Формирование таких понятий, как «совершенно уверен», «определенно», «возможно, да, возможно, нет». Качественная оценка вероятности наступления того или иного события. В начальной школе полезно начинать в игровой ситуации, обучая детей таким понятиям, как «вероятно, да» или «абсолютно да». (уверен), «не обязательно да» или «абсолютно нет».

Воздушные шары в мешке.

Детей можно научить качественно оценивать вероятность наступления случайного события. Фактически, примеры, используемые для формирования этих понятий, являются применением классической вероятности. Однако ученики средней школы могут прийти к осознанному применению формулы классической вероятности после долгих экспериментов с пуговицами, шариками, бусинами и т.д. Через некоторое время ученики начальных классов смогут решать подобные задачи, не прибегая к экспериментам. На самом деле, изучение статистики начинается с проведения экспериментов. Целью изучения элементов статистики в начальной школе является развитие умения проводить простые опросы, наблюдения для сбора (получения) количественной информации и оформления их в виде таблиц.

Например, я даю второклассникам следующее задание: «Выясните у своих одноклассников (учеников начальной школы), какой вид спорта им больше всего нравится, и заполните таблицу (каждому разрешается назвать только один вид спорта). вид спорта футбол хоккей гимнастика другие виды спорта количество учеников 6 5 3 2

— Расскажите, какой вид спорта больше всего нравится вашим одноклассникам; меньше всего.

Резонно спросить: «Можем ли мы использовать эту таблицу, чтобы судить о том, какой вид спорта наиболее популярен в школе?». Оказывается, для этого образца нельзя дать неопровержимый ответ. Полученных данных недостаточно для ответа на этот вопрос. Таким образом, в сознание учащихся закладывается идея о том, что вывод, сделанный на основе опыта, должен соответствовать образцу.

Комбинаторика

В начальной школе комбинаторные задачи решаются путем комбинирования возможных вариантов, которые выполняются посредством предметной деятельности с конкретными вещами. При выполнении первых комбинаторных задач вы должны выполнить практические действия, которые впоследствии будут переведены в мысленный план действий. Для этого я предложила первоклассникам задания в виде игр.

Дневная и ночная игра.

Учитель вызывает трех учеников — Наташу, Сергея и Бориса. Они садятся на стулья у доски. По команде «День!» дети встают и могут двигаться. По команде «Спокойной ночи!» они садятся на свои стулья, но так, чтобы порядок каждый раз был разным. Все остальные дети записывают в своих тетрадях порядок вызванных учеников в соответствии с первыми буквами их имен и следят за ними,

чтобы игроки выполнили заданное условие. Игра продолжается до тех пор, пока не будут раскрыты все возможные варианты. Их шесть:

Н.С.Б.
С.Н.Б.
Б.Н.С.
Н.Б.С.
С.Б.Н.
Б.С.Н.

Во время игры возникают ситуации, когда игроки повторяют расстановку или не могут найти новую расстановку. Затем дети в классе помогают им. Возникают вопросы: «Можно ли играть без ошибок? Как мы должны это сделать?»

При проведении игровых занятий учащиеся осознают необходимость введения правила, которое должно соблюдаться в игре.

Анализируя полученные заказы, они выясняют, что каждый из них должен дважды сесть на первое место, а двое других должны поменяться местами в это же время.

Так, одним из направлений являются задания — игры, другим — задания, показывающие некоторые доступные для детей аспекты применения комбинаторики в повседневной деятельности человека.

Я предлагаю следующую задачу комбинаторного характера: «Художникам нужно покрасить 6 дачных домиков для воспитанников детского сада (они красят крышу, стены и дверь). Они имеют голубую, синюю и белую окраску. Могут ли художники покрасить все дома по-разному, чтобы дети могли узнать свой дом по цвету?». Студентам предлагается нарисовать 6 домов, взять мелки и показать, как маляры должны выполнять работу.

Младшие школьники решают комбинаторные задачи методом перебора (хаотичного или систематического). В процессе решения таких задач студенты приобретают опыт хаотического поиска возможных вариантов. Основываясь на этом опыте, в будущем можно будет научить детей организовывать систематический поиск. На следующем этапе формирования умения решать комбинаторные задачи происходит переход от предметных действий к использованию схематизации.

Практический опыт, полученный ими на предыдущем этапе, обобщается путем переноса его на более рациональные средства организации процесса поиска: Таблицы и диаграммы. Это позволяет ученикам более четко структурировать свой мыслительный процесс и учесть все возможные ситуации поиска. Таблицы и диаграммы позволяют им разбить процесс рассуждений на части, чтобы уточнить процесс поиска, не упуская возможных возможностей.

Студентам было дано следующее задание: «Встретились пять друзей. Они пожали друг другу руки, приветствуя друг друга. Сколько всего было сделано рукопожатий?». Сначала определите, как обозначить каждого человека.

Рассматривая разные наборы, дети приходят к выводу, что удобнее изображать людей точками. Учитель предлагает расставить точки по кругу. Дети думают, как они могут показать, что два человека пожали друг другу руки.

Линии — «стрелки» — проводятся от двух точек друг к другу, которые, встречаясь, образуют одну линию. Это обеспечивает переход к символическому представлению рукопожатия. Сначала нарисуйте все рукопожатия одного человека (точка связана со всеми остальными). Затем переходите к другому человеку. И так далее, пока все не поздороваются друг с другом. На полученной диаграмме подсчитайте количество рукопожатий (всего их 10).

Для решения комбинаторных задач детей знакомят с деревом графов. При решении такой задачи можно использовать дерево графов.

«Сколько трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 7, 4? Запишите все эти числа».

Работая над этим заданием, студенты выполняли хаотичное перечисление возможных вариантов и, запутавшись, не могли найти все возможные решения задачи. Затем детям был предложен следующий вид интерпретации — диаграмма.

Эта работа очень увлекает учащихся, они самостоятельно решают задачи и выполняют аналогичные задания в группах.

Для формирования умения представлять схематическую модель задачи было предложено следующее задание: в каждом столбце (а их 3), в каждой строке (их тоже 3), на каждой диагонали (их 2)? (47 делится на 3 с остатком: 47 : 3 = 15 (остаток 2), то есть нельзя иметь одинаковую сумму в трех столбцах, если общая сумма чисел в трех столбцах равна 47).

Методика обучения решению комбинаторных задач учитывает психологические особенности детей младшего школьного возраста и направлена на развитие мышления. Методы действий не даются «с кондачка», дети сами приходят к своим «открытиям», накапливая опыт. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных способов их решения (различные рассуждения, организационные средства перечисления, способы обозначения объектов) позволяет ученику выбирать пути и средства решения в соответствии со своими индивидуальными особенностями.

Методы решения комбинаторных задач

Комбинаторные задания могут использоваться как средство освоения содержания программы без перегрузки учащихся дополнительной информацией. Включение комбинаторных задач в процесс освоения программного содержания способствует повышению качества знаний учащихся и тренировке их умения решать комбинаторные задачи неформальными методами.

Существуют следующие методы решения комбинаторных задач:

Метод перечисления (выбираются мыслительные задачи).
Табличный метод (здесь все условия вводятся в таблицу, появляется решение)
Вариант дерева (дети получают первые знания о графах)

Методы решения комбинаторных задач представлены по восходящему пути от простого к сложному. В 1-2 классах задачи решаются с помощью перечислений и таблиц; в 3-4 классах задачи решаются с помощью построения дерева вариантов и графов, так что при изучении некоторых вероятностных тем уже в начальной школе можно опираться на знакомые понятия и методы решения.

Комбинаторные задачи — это средство:

реализация методологической концепции, которая выражает необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе овладения содержанием программы.
освоить метод моделирования на уровне, доступном для младших школьников.
расширить понимание студентами различных типов математических задач и способов их решения (перебор, таблицы, дерево вариантов)
развитие таких качеств мышления, как гибкость, вариативность, креативность.

К концу курса начальной математики учащиеся будут знать, как решать комбинаторные задачи и уметь решать математические

Комбинаторные задачи, основанные на реальных материалах, помогают ученикам начальных классов лучше понять окружающий мир, научиться рассматривать все имеющиеся варианты и делать наилучший выбор.

Рассмотрим один из них.

Студентам дается следующее задание: «У вас есть 60 рублей. Родители разрешили тебе пойти в парк, чтобы покататься на карусели.

Предлагаются следующие тарифы.

Вход в парк — 5 рублей, «Колесо обозрения» — 10 рублей, «Сюрприз» — 35 рублей. «Американские горки» — 45 рублей «Комната смеха» — 25 рублей. Какой выбор вы сделаете, если ни одну из достопримечательностей нельзя посетить дважды?

Анализируя проблему, ребенок приходит к построению следующей математической модели: реальность — заданные условия — составление возможных вариантов — выбор варианта. Таким образом, ребенок ставит следующие условия:

ребенок должен войти в парк, потратить 5 рублей.
стоимость всех посещенных достопримечательностей должна быть меньше или равна 55.
ни одну из достопримечательностей не стоит посещать дважды.

Тогда у мальчиков есть следующие варианты.

Выбирая, ребенок останавливается на определенном варианте и воплощает его в жизнь.

Помимо очевидной связи комбинаторных задач с практикой или с реальностью, у детей наблюдаются положительные эмоции, интерес, волнение, радость, удивление. Все это облегчает ребенку волевые усилия, необходимые для решения стоящей перед ним задачи, и стимулирует его активность.

Таким образом, решение комбинаторных задач положительно влияет на формирование приемов умственной деятельности, расширяются представления о задаче.

Методы обучения младших школьников решению комбинаторных задач

Методика преподавания любого комбинаторного содержания должна основываться на определенных предпосылках, в которых определена взаимосвязь основных компонентов процесса обучения: целей, содержания, деятельности учителя и учащихся.

Эти положения могут быть общего или частного характера. Общие положения — это психологические законы, дидактические принципы, психологические и педагогико-методические концепции.

Соответственно, формулируются специальные положения, которые непосредственно учитывают особенности содержания, подлежащего включению.

Методика обучения решению комбинаторных задач разработана в рамках методической системы развития обучения математике учащихся младших классов (Н.Б. Истомина), выражающей необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения математического содержания.

Ориентация начального курса математики на формирование приемов умственной деятельности позволяет установить внутреннюю связь между развивающими условиями формирования и способами его достижения, так как в процессе приобретения знаний, умений и навыков приемы умственной деятельности выполняют различные функции и их можно рассматривать:

Как способ организации учебной деятельности учащихся;
как способы познания, которые становятся достоянием ребенка и характеризуют его интеллектуальный потенциал и способность усваивать знания;
как способы вовлечения в процесс познания различных психических функций: эмоций, воли, чувств, внимания.В результате интеллектуальная деятельность ребенка вступает в различные отношения с другими сторонами его личности, особенно с его направленностью, мотивацией, интересами, уровнем стремления, то есть характеризуется возрастающей активностью личности.Обучение решению комбинаторных задач осуществляется в три этапа:

подготовительный этап, целью которого является формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотического перечисления;
основной этап, цель — ознакомить студентов с методом организованного поиска;
Этап отработки навыков выполнения организованного поиска, цель — развить у студентов навыки решения комбинаторных задач.

Рассмотрим подробнее методику решения комбинаторных задач на каждом этапе.

На подготовительном этапе предлагаются задания на развитие познавательных способностей, активизацию таких мыслительных процессов, как анализ, синтез, обобщение и классификация. На этом этапе решаются задачи двух типов:

Задание игры;
«Чтобы создать мотивацию для решения таких задач, можно предлагать детям задания в игровой форме. В качестве примера мы предлагаем игры «День-ночь» и «Башни».

Во время игры могут возникать ситуации, когда игроки повторяют расстановку или не могут найти новую расстановку. Тогда дети в классе смогут им помочь. В конце игры учащиеся должны осознать важность введения правила, которому следуют в игре. Анализируя места, они должны заметить, что каждый игрок должен дважды сесть на первое место, а два других должны поменяться местами.

Игра может быть предложена в качестве стимула для изучения физики на уроке математики.

Игра может быть предложена в качестве дополнительного материала в конце урока математики. Кроме того, мы предлагаем задачи, которые показывают возможность применения комбинаторики в повседневной деятельности человека («жизненные» задачи). Эти задания можно предложить учащимся в конце урока математики. Если учащиеся нашли варианты в том порядке, в котором они представлены, их можно открыть во время поиска. Если порядок вариантов не совпадает, необходимо проверить только готовый вариант.

Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация и эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению комбинаторных задач. На основном этапе студенты знакомятся с различными способами решения комбинаторных задач.

На этом этапе решаются четыре типа проблем:

Проблемы, решаемые методом организованного поиска;
Задачи, решаемые с помощью таблиц;
Решение задач с использованием графиков;
Решение задач с использованием дерева возможных вариантов.

Для начала мы рекомендуем познакомить студентов с методом организованного поиска. При решении этих задач важно научить детей не искать хаотично, а соблюдать определенный порядок всех решений.

Далее мы предлагаем познакомить студентов с другим способом решения комбинаторных задач — с использованием таблиц.

Прежде чем познакомить учащихся с новым способом решения комбинаторных задач, необходимо актуализировать знания детей о таблицах, выделить существенные признаки таблиц и сформулировать определение таблицы, например, : Таблица — это список информации, числовых данных, расположенных в определенной системе и разделенных на колонки (строки и столбцы).

Вы можете либо проверить решение шаг за шагом, открывая стрелки, либо открыть всю диаграмму на слайде.

Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.

На этапе отработки навыков выполнения организованного поиска предлагается решить комбинаторные задачи разными способами (с помощью организованного поиска, с использованием таблиц, с использованием графов), закрепляя, с одной стороны, умение решать такие задачи разными методами поиска, а с другой стороны, самоконтроль, который является необходимой частью учебной деятельности.

Задание предлагается для проверки способности решать комбинаторные задачи разными способами, так как демонстрирует степень сформированности способности организованного поиска. Задание позволяет учащимся выполнить действие самоконтроля.

Это задание занимает 10 — 15 минут урока.

Таким образом, можно научить детей решать комбинаторные задачи разными способами и выбирать рациональный путь решения.

Методика обучения решению комбинаторных задач соответствует методическому подходу к формированию математических понятий у младших школьников, который связан с установлением соответствия между различными моделями. Возможность такого соответствия определяется тем, как решаются комбинаторные задачи. Таким образом, тип перечисления (хаотичный и системный) позволяет детям решать комбинаторные задачи, опираясь на свой опыт, предметную деятельность и наглядно-образное мышление.

На странице курсовые работы по педагогике вы найдете много готовых тем для курсовых по предмету «Педагогика».

Здесь темы рефератов по педагогике

Читайте дополнительные лекции: