Оглавление:
Колебания систем со многими степенями свободы
- Теория свободной вибрации системы с несколькими (5) ступенями Свобода строится так же, как рассматривается одномерная вибрация в §21. Система U потенциальная энергия Сакральные координаты qi (i = 1, 2, s) имеют минимальное значение при qi = qiq.
Введение малого смещения xi = Qi-QiO (23,1) Расширить U до квадратичных выражений, Получить потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы И + ^ 2, k ikXiXk, (23,2) Я, к Посчитайте еще раз потенциальную энергию от мини Небольшое значение.
Их всегда можно считать симметричными по индексу Людмила Фирмаль
Коэффициенты к ^ и к ^ являются (23.2) Умножьте на то же количество X {X ^ : ^ gk = kki- В кинетической энергии, как правило, \ ^ 2 Щ (ч) Yk Я, к (См. (5.5)), установите коэффициент qi = qi®, укажите постоянную aik (qo) и получите ее в положительном виде Конкретная вторичная форма ^ mjkXjXk. (23,3)
Для ~ Коэффициент m ^ всегда можно считать симметричным По индексу VTlik ~ TTlki • Следовательно, функция Лагранжа системы Свободная небольшая вибрация имеет форму L = \ ^ 2 (от mikXiXk до kikXiXk). (23,4) Для ~ Далее создайте уравнение движения. Чтобы определить вход Напишите производную этих производных, полную производную функции Лагранжа dL = i ^ 2 (mikXi dxk + mikxk dxi-kikxt dxk-kikxk dxi).
- Я, к Конечно, поскольку сумма не зависит от спецификации общего индекса, замените первый и третий члены скобок i на fc, а fc на i. Принимая во внимание симметрию коэффициентов, dL = ^ 2 (tgk% к dxi-kikxk dxi). Это дл дл v- ‘; 0 ^. ~ 2 ^ t ^ xk, d ^ ~ k ^ xk- Для ~ Следовательно, уравнение Лагранжа Y «mikxk + ^ 2 kikxk = 0. (23,5) Для ~ Они представляют собой линейные системы s (r = 1,2, …, 5) Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Из-за общих правил для решения таких уравнений, Известная функция Xk (t) вида hk = Akeiwt, (23,6) Где A & является неопределенной константой до сих пор. Подстановка (23.6) в систему (23.5) дает систему линейных однородных алгебраических уравнений путем сокращения.
Чтобы эта система имела ненулевое решение Людмила Фирмаль
Должна быть удовлетворена константой A ^ \ Y, (-w 2mik + kik) Ak = 0. (23,7) к , ее определитель должен исчезнуть \ kik-w2mik \ = 0. (23,8) Уравнение (23.8), так называемое характеристическое уравнение, является уравнением порядка s для si2.
В общем случае существуют разные действительные положительные корни cu2, σ = 1,2, …, 5 (в некоторых случаях некоторые из этих корней могут совпадать). конечно Поэтому значение si называется собственной частотой системы. Важность и положительный корень уравнения (23.8) Это уже ясно из физических соображений.
Фактически, наличие части символа внутри символа означает, что она существует во временной зависимости координаты xk (23,6) (и скорости Xk) экспоненциально убывающего или экспоненциально увеличивающегося коэффициента.
Но существование таких факторов В этом случае это неприемлемо, так как приводит к старению полной энергии системы E = U + T, что противоречит закону сохранения системы. Вы можете увидеть то же самое чисто математически Кстати. Умножьте уравнение (23.7) на A * и сумму По г, ^] (Si TYiik + к ^) А ^ А} ~ = 0, Я, к Откуда w 2 = E kikA * Ak
Аляска Квадратичная форма числителя и знаменателя этой формулы существует из-за материальности и симметрии Коэффициенты k {k и m ^; действительно (J2hkA * Aky = Y, kikAiA * k = g, k g, / s g, k g, / s Они также очень позитивные и, следовательно, позитивные Где х) и си2.
После нахождения частот sia, подставляя каждую в уравнение (23.7), вы можете найти соответствующее значение для коэффициента A &. Если все корни sia в характеристическом уравнении различны, как вы знаете, коэффициент Ak пропорционален второстепенному (23,8) определителя и si заменяется соответствующим значением si. шоу Эти несовершеннолетние через а / с.
Следовательно, конкретное решение системы дифференциальных уравнений (23.5) Xk = АклСай * ш * г, Где Soe — произвольная (комплексная) константа. Общее решение дается суммой всех конкретных решений.
Перейдите к реальной части и напишите в следующем формате S Xk = Re (Ј) AkaCaj w * t) = 5> / ea0 a, (23,9) О C = 1 ОС Где введена нотация 0 a = Re {Ccx, eiWat}. (23.10) Следовательно, изменение каждой координаты системы Время — это простая периодическая вибрация © i, 0 2, …, 0 с, перекрывается с любой амплитудой и фазой и четко определенной частотой.
Проблема возникает естественно. Можно ли выбрать обобщенные координаты, чтобы каждая выполняла только одну простую вибрацию? Тамая форма всеобщей интеграции (23.9) показывает путь для решения этой проблемы.
Фактически, если мы рассмотрим s-соотношение (23.9) как систему уравнений для s неизвестного 0 a, мы можем решить эту систему и вычислить величины 0 1, 0 2, …, 0 5 Координаты Ж1, №2. ••, х8. Таким образом, величина 0a может рассматриваться как новая обобщенная координата.
Эти координаты обычно называют (или главными), а простые периодические колебания, которые они выполняют, называют нормальными колебаниями системы. Нормальная координата 0 a есть Из этих определений, их 0 a + w2 0 a = 0. (23.11) Это потому, что уравнение движения Разбивается на s независимо от других уравнений.
Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения Чтобы полностью определить временную зависимость этой координаты, вам нужно знать только ее начальное значение И соответствующая скорость. Другими словами, нормальная вибрация системы полностью независима.
Из вышесказанного ясно, что функция Лагранжа выражена. Делится на общее выражение через нормальные координаты. Каждое уравнение соответствует одномерной вибрации с одной из частот сдвига. Имеет форму L = Ј «m (®» — (23.12) (X Где Schos — это положительная константа.
С математической точки зрения это связано с преобразованием (23,9), а квадратичной формой является кинетическая энергия (23,3) и потенциал (23.2) — Уменьшается до диагонального вида одновременно. Обычно нормальные координаты выбираются таким образом Следовательно, коэффициент квадрата скорости функции Лагранжа равен 1/2.
Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначаемые Q a) с помощью уравнения. Qoc = y / mn ^ © a- (23.13) тогда L = \ J 2 (Q i ~ w2ocQ2oc) — OS Если между корнями все вышеперечисленное вряд ли изменится Характеристическое уравнение имеет несколько маршрутов.
Общий вид уравнения интегрирования движения (23.9), (23.10) остается прежним (такое же количество слагаемых s), единственная разница Коэффициент Dd.a, соответствующий нескольким частотам, больше не является определяющим второстепенным и, как известно, x) исчезает в этом случае.
Часто к любому множеству (или вырожденному как говорится) Они соответствуют многим различным стандартным координатам, то есть множественности, но выбор этих стандартных координат не ясен. Нормальные координаты (с одинаковыми sia) вводят кинетическую энергию и потенциальную энергию в виде Аналогично конвертируемые суммы ^ 2 Q \ и ^ 2 Q \
На него влияет линейное преобразование, которое делает сумму квадратов инвариантной. Очень легко найти 3 стандартные координаты Размерная вибрация одной материальной точки в определенном внешнем поле.
Поместите начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии C / (x, y, z) Получите последний в квадратичной форме с переменными x, y, z и кинетической энергией T = ^ (x 2 + y2 + z2) (Т — масса частицы) не зависит от выбора направления координатной оси.
Поэтому достаточно сделать диагональ потенциальной энергии соответствующим вращением вала. Тогда 1 L = y (x2 + y2 + z2) — (kgx2 + k2y2 + faz2), (23,14) И вибрации вдоль осей X, Y и Z являются основными частотными 0) 1 = y / kfp, 0) 2 = y / kb / t, o> s = y / kz / t Особый случай центросимметричного (k \ = = k% = k, U = kg2 / 2) Эти три частоты совпадают (см. задачу 3).
Использование нормальных координат делает возможным Включение проблемы вынужденной вибрации систем с несколькими степенями свободы в проблему одномерной вынужденной вибрации.
Форма функции Лагранжа системы, учитывающая переменную внешнюю силу, действующую на систему, имеет вид L = I / O + FK (т) х Ки (23,15) к Где Lo — лагранжева функция свободной вибрации. Если вместо координат Xk вводятся нормальные координаты, это делается следующим образом. L = \ Y, (Q * — <«lQl) +» 52f «(t№» ‘(23-16) ос ос
Где было введено обозначение u (t) = j * 2 Fk (t) х / jТП = os- к Следовательно, уравнение движения Qoc WqcQ qc = foc {t) (23.17) Содержит только одну неизвестную функцию Qoc (t). Задание 1. Для функции Лагранжа 2 определите вибрацию системы с двумя степенями свободы г 1 / • 2 I • 2 \ / 2. 2 часа B = 2 ^ X + Y) — ^ \ X + Y) + ху (Две идентичные одномерные системы с естественными частотами sio, связанные взаимодействием ОШУ).
Решения. Уравнение движения x + co 1x = оса, y + cvly = топор. Замена (23,6) x (j ^ oo) -aaAy, Au (booo (A)) — aaAx • (-0 Характеристическое уравнение (si o-si2) 2 = a 2, почему (X) \ = CUo-os, si 2 = CUq + OS. Если si = cui, уравнение (1) дает Ax = Au и si = Ш2Ax = -Au. так x = + FD, Y = -FD (Коэффициент 1/1/2 соответствует нормальной нормализации координат, показанной в тексте).
Для os cuq (слабая связь) cjui «w 0-os / (2 w 0), 0) 2» w 0 + a / (2 w 0). В этом случае изменение x n y является суперпозицией двух близких по частоте колебаний. Частота со2- (JOi = = os / soo (см. §22). Кроме того, в момент, когда амплитуда координаты x проходит через максимальное значение, амплитуда y проходит через минимальное значение и наоборот.
2. Определите небольшую вибрацию двойного плоского маятника (см. Рисунок 1). Решения. Для небольших вариаций (cpi ^ C l, (p2 1), Задача 1§5, форма функции Лагранжа gШ1 + Ш2.2.2, Ш2, 2.2. • Ш1 + Ш2, 2Ш2. 2 L = —————— Zi 1-gl> 2Ф2 • Уравнение движения: (Mi + w2) / 1ф1 + Ш2 / 2Ф2 + (ми + м2) г (пи = О, k’fg + / 2Ф2 + gф2 = 0. После замены (23.6): Ai (mi + m 2) (g-hco2) -A2co2 t2k = 0, -A i l i w 2 + A 2 (g I2 C0 2) = 0.
Корень характеристического уравнения: г ,, ((ми + м2) (/ i + i2) ± ± (mi + m2) [(mi + m2) (Zi + / г) 2-4 м i / i / 2] [• Как и в среднем, частота стремится к пределам y / g / h и yjg / h, соответствующим независимым колебаниям двух маятников. 3. Найти траекторию частицы в среднем поле U = kg2 / 2 (Так называемый пространственный осциллятор). Решения.
Как и во всех центральных полях, движение происходит в одной плоскости и выбирается в качестве плоскости xy. Изменение каждой координаты x и y представляет собой простое колебание с одинаковой частотой ω = y / k / t. x = a cos (детская кроватка + a), y = 6 cos (детская кроватка + (3) или x = a cos cp, y = b cos (cp + 6) = b cos 6 cos (p-b sin 6 sin cp, Где введено обозначение (p = cot + os, 6 = (3-os.
Определяется из этого cos (p и Создание греха (р и их сумма квадратов дает уравнение траектории х2 у2 2ч. 2 2a + mk —- r cos ° = sino2 ab Это эллипс с центром в начале координат 1). Если 6 = 0 или тс, траектория Сводит к отрезку.
Смотрите также:
| Свободные одномерные колебания | Колебания молекул в физике |
| Вынужденные колебания в физике | Затухающие колебания в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
