Классы интегрируемых функций с помощью приведенных признаков

Оглавление:

Классы интегрируемых функций

Класс интегрируемых функций. С помощью приведенных выше признаков интегрируемости легко доказать: I. Все непрерывные функции области (P)/(x, y) интегрируемы. В самом деле, если функция / непрерывна в (замкнутой) области (Р), то характеристике

равномерной непрерывности соответствует 8^>0, например каждая е^>0, а в любой части области (Р), где диаметр меньше 8, то все колебания со — <^е, а 2″). Л0, как только область (P) разложена

на части, имеющие диаметр меньше 8, сумма областей, имеющих C (a) Людмила Фирмаль

общности, сводится к 8 0, таким образом, что становится меньше e. В этом предположении кривая (A) может быть погружена в полигональную область (C), которая имеет область меньшую, чем E. тогда расстояние между переменными точками обеих кривых достигает их минимального значения 8^>0. Действительно, n e R e r s в этих N E кривых задаются параметрическими уравнениями

соответственно: (K) x=(я), Г=ф(я), Где CP, f, CPи fявляются последовательными функциями от их соответствующих аргументов. Тогда расстояние между двумя произвольными точками этих кривых V-это[0. В этом предположении все «структурные линии» функции/(x, 3/) могут быть заключены в полигональную область (O) с общей площадью меньше E. Для риса. 22 эта область покрыта птенцами. Эта

граница, очевидно, сама по себе является фигурой. 22. Площадь равна нулю. В замкнутой области функция/(x, _u) является полностью непрерывной, и поэтому равномерно непрерывной, в результате внутреннего присвоения области от-(P) до (<2). Поэтому, учитывая e^>0, в любой части этой области диаметра меньше 8 существует число&1^>0 такое, что колебание функции/(x, _u) меньше e. Теперь

, благодаря Лемме, мы можем найти такое B2^>0 всякий раз, когда некоторая область (P) разбивается произвольной кривой на части, имеющие диаметр меньше B2. Пусть 8-наименьшее из двух чисел 8 и B2. Разложим область (P) на части(P^, (P2),. . , Диаметр (RP) меньше 8, рассмотрим соответствующую сумму Два. Я Давайте разделим его на две суммы: V I» Предполагая, что значок 1G соответствует такой области(глава rd242 XXI. двойной Интеграл[341

Идеально расположенный за пределами выделенной области (f),»g» — все Людмила Фирмаль

остальное. Давайте оценим каждую из этих сумм отдельно. Так что все(Р?Так как он находится в области, полученной из (P) путем выделения (<2), а его диаметр равен всему o)^<^e、 Е Р. В С другой стороны, через 2, если мы обозначим колебания функции/(x, y) во всей области (P), (SP — ^2 или позже) 2Y-S’RG » <2 2R Gg. В Где 2^ » — сумма площади области (RD: 1) или полностью в области отключения ((D2) или касательной границы (L) этой области. Общая площадь первого меньше e,<2e;то же самое можно сказать и об общей площади второго,так как площадь разбивается на части меньшего диаметра. Итак, t A C h t o 2<o G’L » <2 2e. Г’ Наконец, когда он появился: 5 (^+2 2) e- Так как правая часть этого неравенства произвольно мала вместе с e, то выполняется условие (6).

Сведение двойного интеграла к повторному	Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
Определение двойного интеграла	Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование по области.