Точки разрыва функции: определения, классификация

Классификация точек разрыва функции

• Классификация точек разрыва функции. В 1 Вы согласились вызвать точку останова для функции/(x), где функция не имеет свойства непрерывности. Это означает, что функция/(x) определяется во время тестирования на наличие или отсутствие свойства непрерывности. Вы можете расширить свое рассмотрение, чтобы также посмотреть на точку, где функция/(x) не определена(конечно, эти точки ограничены набором распределений функций). Давайте рассмотрим возможные типы точек останова.§5. Функциональные точки останова и их

классификация 163 1°. Одноразовые слезы. Если функция {(x) точки a существует, но функция {(x) точки a не определена или имеет частное {(a), отличное в этом отношении от limit [(x), то функция y=$(x) называется Ust ran. Например, следующая функция /*) (= * Функция [(x)=8§n x может быть четко записана как: 81P X Икс 0,5 х = 0 Существует одноразовый зазор в точке x=0. Действительно, предельное значение этой функции в точке x=0 равно 1,

о чем свидетельствует пункт 1 4. Значение коэффициента равно 0,5=#1. Если Людмила Фирмаль

функция [(x) имеет съемный зазор в точке a, то этот зазор может быть удален без изменения значения функции в любой точке, отличной от точки A. Итак, в приведенном выше примере достаточно поставить/(0)=1, а затем NT—=/(0)=1. В физическом процессе в концентрированном распределении физических величин возникают неизбежные разрывы. 2°. Первый вид разрыва. Точка а называется Т Р А З ры. В этот момент функция [(x) конечна, но правый и левый пределы N t / (x)#=N t/(x). X-+a+0x->A-0 образно говоря, разрыв первого рода можно назвать конечным скачком. Вот несколько примеров. 1)

функция /(з)=з§рН= От 1 до x>0, от 0 до x=0, от -1 до x<0 В точках x=0 имеет место разрыв первого*.Рода на самом деле, 1 (х)=з§р х с X Ноль. x=/=0, и x-0. 6: 164Ч. 4. Непрерывность функций Это может быть z§pH=1, NT8§pH=-1, и таким образом эти пределы X-+0+0 x — * 0-O не равно. 2) Другой пример дает функция, когда/(x)= — — — — — x=#0. Для I x I в этой функции PT81P* — =1, NT^ — PD — =-1, где точка x — ^o+o|x|x — » o-o|x / x=0 является первым видом точки останова. 3) функция/(h) = —- —— , «здесь везде- 1+2x-1Ki x=1 имеет зазор первого рода до точки x=1. Фактически, если{x»} сходится к 1 и состоит из элемента XGA>1, то ( — — — ) есть последовательность Бесконечности-I xn-1 1] nost имеет

• положительный член. Итак, {14-2n_1}является бесконечно большим массивом и, следовательно, массивом/(x») = —— ——— она бесконечно мала. 1+2 » -1 НТ/(х)=0. если x — >14-0{XP}сходится к 1 и состоит из XY<1 элементов, I -! Является бесконечно большой последовательностью с отрицательным членом I CP-1). Таким образом, {2HP’} сходится к нулю и, следовательно, последовательность/(HL)=—— 1 — сходимость по EDI-1+2hp_1 Ницца, т. е. NT/(x)=1. x—*-1—около 3°. Второй вид разрыва. Точка a — это точка, в которой функция} (x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов в этой точке, или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. П краю ЧН. 1) функция Х-CO8 — — — в Х<О, х /(x)={x=O при 0, coz-при X>O при x имеет предел слева при x =

0, равный нулю: it/(x)=~0 =0. Фактически, {xD, если последовательность сходится§5. Точки останова функций и их классификация 165 Ноль, то число XY<0 0<1/0= / x» / CO8 — / < / x»/. * П1 P — >OO in / HGA] — >0, так как t/(x I)=0. П — > 00 Давайте проверим, что рассматриваемая функция не имеет правильного предела в точке x=0. Для этого рассмотрим, что она сходится к двум нулям и состоит из меньшего, чем положительное число 1 ‘ 1 Тело x= ———- и HP — — — — — -. Если функция принадлежит l2lp — +Тявканье. Два. В точке x=0 правого предела обе последовательности {/(XY)} и {/(x’P)} сходятся к одному и тому же числу. Однако/(x/)=co2lp=1 сходится к единице, а/(x»)=co8=0 сходится к нулю. Таким образом, рассматриваемая функция имеет второй вид разрыва в точке x=0. 2) функция/(x)=1§x имеет разрыв второго рода в каждой из K точек, где X=~ ~ +явно XY= 0, ±1, ±2,…, X*NT/(x)=4-OO в каждой такой точке, it/(x)= — OO. x — >xk-O

каждая точка x * функция 4§можно образно сказать, что x имеет бесконечный Людмила Фирмаль

скачок. 3) функция Г/A8SH-Х, икс Если X=o точка x=0, то в этом отношении существует предел. На самом деле достаточно убедиться, что точка x=0 не имеет правильного предела. 1 ‘ 1 HP= — и HP————— L значение-последовательность YAP отвечает — 4-2lge Функция NII/(x»)=8SH ll=O и/(X^)=81P4-2LP^=1,сходящаяся первая к нулю,а вторая-к единице. В этой статье мы вводим понятие кусочно-непрерывных функций, которые часто встречаются в математике и ее приложениях. Нет никакого права иметь разрыв второго рода От 81P

-!- =- 81P ——, — Х Х166 Глава 4. Непрерывность функций Если эта функция определена в любом месте отрезка[a, B], то она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка. (X) является K u s o h n o N E P R s V n o y na I n t e V a l e(и Li na B e S K o n e h n o y), e s l I^(x) принадлежит этому интервалу Например, функция y=[x] кусочно непрерывна как в произвольных отрезках, так и в бесконечных линиях

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Первый замечательный предел	О точках разрыва монотонной функции
Второй замечательный предел	Локальные свойства непрерывных функций