Оглавление:
Кинетическая энергия
- Точка и система кинетической энергии. Кинетическая энергия материальной точки называется половиной произведения точечной массы и квадрата ее скорости, т.е. mv2 / 2 или mv2 / 2. Это потому, что скалярный квадрат любого вектора равен квадрату модуля этого вектора. Кинетическая энергия представляет собой положительное количество скаляров. В СИ единица кинетической энергии равна Джоулям: 1 Дж = 1 Нм. Кинетическая энергия системы T является суммой кинетической энергии всех точек механической системы. гипосульфит.
Кинетическая энергия как точки, так и системы не зависит от направления скорости точки. Только когда все точки системы неподвижны, кинетическая энергия системы равна нулю. Расчет кинетической энергии системы (теорема Кенига). Движение механической системы разлагается на поступательный перевод с центром тяжести системы, а система координат, которая переводится с центром тяжести, используется в качестве эталона. Для каждой точки в системе Mk (см. Рис. 57), а также того, как это было сделано при выводе формулы момента движения с таким расширением абсолютного движения, P * = Pc + ‘!
Известно, что по инерции без действия сил материальные точки могут двигаться с постоянной скоростью по прямой, а твердые тела-вращаться вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью. Людмила Фирмаль
В соответствии с этим Где v ^ —dr / dt — относительная скорость точки. Это происходит потому, что движущаяся система координат движется постепенно (ω = 0), поэтому полная производная по времени от rk соответствует локальной производной, равной относительной скорости точки. Подставляя значение скорости vk в кинетическую энергию абсолютного движения системы, то есть кинетическую энергию относительного движения относительно системы координат Ox1u121, получается очевидное преобразование. <62> но с того времени = const = 0.
Учитывая, что mk = M — масса системы, второе слагаемое в (62) (63) где Сумма Г? 1 — кинетическая энергия относительного движения системы относительно системы координат, которая постепенно движется вместе с центром тяжести, или кинетическая энергия системы относительно центра тяжести. Уравнение (63) представляет собой так называемую теорему Кенига: кинетическая энергия системы абсолютного движения — это кинетическая энергия центра масс, когда вся масса системы сконцентрирована в нем, и Общая кинетическая энергия. Твердая кинетическая энергия. Поступательное движение твердой кинетической энергии (S), Во время перемещения твердого тела v — общая скорость всех точек тела, поскольку скорость всех точек тела одинакова, то есть vk = v.
Таким образом, кинетическая энергия перемещаемого твердого тела рассчитывается так же, как и одна точка, масса которой равна массе всего тела. Когда тело вращается вокруг фиксированной оси, кинетическая энергия может быть рассчитана с учетом того, что скорость точки на теле Mk может быть выражена следующим образом (см. Рисунок 50). vk = cahk. Где hk — кратчайшее расстояние от точки Mk до оси вращения. И — угловая скорость тела. тогда м == у ^ = ^ у ж 2 2 ’* 2 или (65) где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения Oz. Таким образом, кинетическая энергия объекта при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции объекта относительно оси вращения, обусловленного квадратом угловой скорости объекта.
Из сравнения (64) и (65) видно, что эгида формулы аналогична. Только для вращательного движения, аналог массы — это момент инерции тела относительно оси вращения, а скорость — угловая скорость тела. Это сходство между поступательным и вращательным движением твердого тела можно наблюдать во многих формулах, связанных с этими двумя движениями. Для твердого плоского движения кинетическая энергия может быть рассчитана по теореме Кенига. В этом случае относительное движение к центру тяжести (точнее, относительное движение к движущейся системе координат (С поступательным центром тяжести) вращается вокруг центра тяжести с угловой скоростью ω.
Где JCz — момент инерции объекта вокруг оси Cz, который проходит через центр масс объекта, перпендикулярный плоскости движения. Поэтому, исходя из (63), о плоском движении тела + (66) Таким образом, в плоском движении тела кинетическая энергия представляет собой сумму кинетической энергии и центра масс поступательного движения тела и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения. Учитывая vc = wCP (P — центр мгновенной скорости), мы используем теорему Штейнера из (66), чтобы получить другое уравнение для кинетической энергии твердого тела в плоском движении. r = m2 + L-.4- «’ p <. + m1 «) 21-L.y. <66’1 JPl — момент инерции тела относительно оси Pz, проходящей через мгновенный центр скорости, перпендикулярный плоскости движения.
Если механическая система состоит из нескольких твердых тел, необходимо рассчитать кинетическую энергию каждого тела и добавить полученную кинетическую энергию. Это определяет кинетическую энергию системы организма. Теорема о точке изменения кинетической энергии Для массы материала m, движущейся под действием силы F, основной закон динамики можно выразить как Умножение производной вектора радиуса точки dr на скаляр с обеих сторон этого соотношения дает: mdr— = Fdr ди mi> di; = Fdf, Где v = dr / dt — скорость точки. di5 = d ^. с того времени mv • d6 = d (mv 2/2) = d (mv2 / 2) и, наконец, d (mv2l2) = дА. (67) Уравнение (67) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме.
- Производная кинетической энергии точки равна основной работе силы, действующей на точку. Разделив обе части (67) на dt и считая степень dA / dl = W, теорема также может быть выражена как: Производная по времени кинетической энергии точки равна мощности, подаваемой в эту точку. Интегрируя обе стороны от точки Мо к точке М в (67) (см. Рис. 60), получим теорему об изменении кинетической энергии точки в окончательном виде. = (68) То есть изменение кинетической энергии точки при любом смещении равно работе силы, действующей на точку при одном и том же смещении. Но из-за положения статического равновесия / ′ = <ХС1, c = Pfkct. Следовательно, 6 + J .—- V = 0, или Начальная скорость -2X „X — 2Xc, A = 0.
Квадратное уравнение, Поскольку X> XC1, знак плюс перед маршрутом выбран. Если A = 0, используется максимальное сжатие. е. В динамическом действии -> ужин самый большой кризис — статический процесс сжатия. Пример 2. Нагрузка силы тяжести P подвешена в точке O на пружине со статическим удлинением, равным X, под действием силы тяжести P. __ г _ в положении Мо сообщается вертикально вниз (рис. 68). Если нагрузка принимается за точку и скользит по кольцу радиуса R без трения, она определяет скорость нагрузки в положении М. 00, = R, а естественная длина пружины — R. Решения. Примените теорему об изменении кинетической энергии к движению груза, где Mo — начальное положение груза, а M — конечное положение.
В настоящей работе выведено правило сохранения момента движения системы и рассмотрена материальная точка как механическая система, в которой число точек равно единице. Людмила Фирмаль
Обеспечивает идеальную упругость пружины. Нормальное время реакции перпендикулярно смещению. Ее работа равна нулю. так Но теорема Теорема об изменении кинетической энергии системы Приложите все внешние и внутренние силы к системным точкам, и для каждой точки в системе теорема об изменении кинетической энергии (67) <1 (w1p * 2/2) = Le, bg |, + A ‘, — < 1r (1, с / 1, 2, …, N Суммируя правую и левую части этих соотношений во всех точках системы и беря производную от знака суммы, d £ = d_ + d_ *, dT-S + JM ‘», (69) Где кинетическая энергия системы Таким образом, основная работа внешних и внутренних сил dAP = Fl ‘> -drk, dA? = Fpdrk. Уравнение (69) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Производная кинетической энергии системы равна сумме основной работы всех внешних и внутренних сил, действующих на систему. Объединение обеих сторон (69) в двух положениях системы (первая и последняя, кинетическая энергия To и T соответственно) меняет порядок суммирования и интегрирования. Т-То = ^ (<№> + £ (дАи \ или T-T0 = £ aG + £ a? , (70) Здесь f d / 4le) — действие внешней силы на точку системы Mk, когда система Mk перемещается из начальной позиции Mk0 в конечную позицию Mk. / IV = f d ^ V — каждая внутренняя сила, действующая на точку Mk. Уравнение (70) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной или интегральной форме.
Изменение кинетической энергии системы при перемещении из одного положения в другое равно сумме работы всех внешних и внутренних сил, действующих на систему при соответствующем смещении системной точки в том же положении. Особый случай. Для абсолютно твердых тел суммарная работа всех внутренних сил в системе равна нулю: Meaux Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии может быть выражена, например, в окончательном виде: T-T0 = 2A [´ ‘. (71) Изменение кинетической энергии твердого тела при любом смещении равно сумме работы всех внешних сил, действующих на объект при соответствующем смещении точки объекта при одинаковом смещении твердого тела.
Таким образом, в отличие от других общих теорем системной динамики, внутренние силы могут ввести теорему об изменении кинетической энергии. Абсолютно твердые тела не включены в эту теорему. Пример I. В маятнике Максвелла однородный цилиндр радиуса R падает без начальной скорости и наматывается вокруг центра цилиндра. В зависимости от высоты спуска определяется скорость оси цилиндра (рис. 69). Решения. Согласно теореме об изменении кинетической энергии системы, состоящей из нагрузки, резьбы, блока и катка Здесь T0 = 0.
Потому что сначала была система. Укажите Г. Нагрузка T2 и T3 кинетическая энергия, блок за падением соответственно При загрузке до высоты L, так но — (2e + sp + P) = — (e + 2 />). Поскольку внутренняя работа натяжения нити равна нулю, вся сплошная система, соединенная нитью, обычно составляет £ 1 ° = 0. Поскольку эти силы приложены к неподвижной точке O, сила тяжести устройства и реакция osn P работают равными нулю.
Поскольку сила тяжести ролика P перпендикулярна смещению, а силы N, F и p приложены к мгновенному центру скорости, работа равна нулю. Работа выполняется парой сил с силой Q и моментом Mk, препятствующих вращению ролика вдоль плоскости. У нас есть £ L1 ‘’- (> L-L4 <₽. Здесь ‘± Подставляя значение полученной кинетической энергии, Измени теорему Только гравитация Q для их выполнения является массой Q! имеет г и, следовательно, имеет кинетическую энергию. Как работа гравитации, так и кинетическая энергия нагрузки включены в теорему об изменении кинетической энергии.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Теорема Резаля | Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении |
| Теорема об изменении кинетической энергии | Элементарная работа силы |
