Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Оглавление:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Пусть будет так 5 = {r (a, o); (a,^) ёО} (50.7） Непрерывно дифференцируемые поверхности. Рассмотрим некоторые векторные представления r-r(u, o), (u, u).Как и все векторные представления, это непрерывная дифференцируемая векторная функция на замкнутой плоской области b. Для простоты предположим, что пересечение каждой прямой u = u0 или V = y0 с замкнутой областью B равно 1 отрезку(который может быть вырожден в точку) или пустому. Например, если пересечение с и линии V = V0 не пустое、 р = р(г, У0), (у, У0) е (Y-Fixed) это представление непрерывно дифференцируемой кривой, называемой координатной линией (i-line).Вектор Иu = =(х», у, 2И） Является его касательным вектором. Другие координатные линии (o-line) аналогично определяются с помощью выражений. р = р(ц0,г), (ц0, ц) йоу § 50.Элементы теории поверхности 242. («O фиксирован) и касательный вектор к ним ЯГ.

В противном случае, то есть если вектор rn и вектор находятся на одной прямой в определенной точке, то в их конкретном представлении это называется сингулярностью поверхности. Людмила Фирмаль

Определение 12.Точка r (u, V) (линейно независимой) поверхности (50.7), где векторы r и r не коллинеарны, называется неособой в этом представлении этой поверхности. Если точка поверхности неособая, то, в частности, rb = H = 0, Φ0.Очевидно, что точка поверхности не является сингулярной для данного представления поверхности только в случае этой точки иχχφ0. Упражнение 1. если r (u0, n0) является единственным неособым для конкретного выражения r (u, v), (u, v) e/), то точка на поверхности 5, то есть в этой точке (u0, b) e 0 и иχхг0, то часть точки 5 (U0, O0) также внутри поверхности 5 будет иметь явное представление любой из осей. Рассмотрим кривую поверхности(50.7).

Эта кривая задается непрерывно дифференцируемой функцией u = u(1), o = o (I), {u (1), (1)) 6A, a> 1 <b, то есть представление р = р [у]（1）、»（/）]、（ у(1), К (/)) Б, А^^^ Б (50.8） Далее, m ’2 (/) -} [a, b) y’ 2 ( / ) 0. Если продифференцировать равенство(50.8)、 (50.9)） & Р = ги&МФФ & & 0、 Здесь ух = у ’(1)У1,у = О ’ ({) си. Если точка поверхности, в которой рассматривается равенство (50.9), не является сингулярной, то вектор π касателен к кривой (50.8).Уравнение (50.9) является конкретной точкой r (u0, o0) поверхности (50.7), где касательная любой кривой (50.8) на этой поверхности, проходящей через точку r (u0, o0), является вектором ri (u0, o0) и M«o, o0). Определение 13.Плоскость, через которую все касательные к кривой (50.8) проходят через эту точку (50.7) точка r (u0, o0) называется касательной плоскостью (контактом) к поверхности в этой точке. Практические Вопросы 2.

Для вектора V на поверхности 5 касательной плоскости в неособой точке докажем, что существует кривая через эту точку на поверхности 5, где вектор V касателен. 50.4.Касательная плоскость и перпендикуляр к поверхности 243. Если конкретная точка на поверхности(50.7) неспецифична, то она всегда присутствует в ней, более того, это только касательная плоскость. (50.9) плоскость, проходящая через r (u, oo) Опишите уравнения в векторной форме m (u0, o0) и Hn (u0, vector form. R0 представляет радиус-вектор контакта, а r-текущий радиус-вектор точки На касательной плоскости (рис.201). (Р-Р0) р «р» = 0 (Слева от уравнения находится смешанное произведение этих векторов.) если r =(x, y, r), r0 =(x0, y0, r0)、 / И»(Xd, U, 2i) y. (X;’, U.’G ..）、 Уравнения касательной плоскости описываются следующим образом: = 0. Хоу. Х » У СТРОЙАЛЬП Для явного определения поверхности 2 = ф (, г), (х, г) РВЗ、 потому что U = X, а о = г、 ХЦ-1, Уц—0, 2и= /х, Хн=== 0,Ун1,%н/у1 (50.10） (50.11） х-х0 у-Г О Р-Р0 х-х0 у-Йо 1 0 0-1 Р-Р0 И затем И затем = 0.

Линия, проходящая через точку контакта грани с касательной плоскостью и перпендикулярная этой грани, называется нормалью грани в указанной точке. Людмила Фирмаль

Таким образом, уравнения касательной плоскости в этом случае принимают вид: Откуда Р-го =(х-х0)!х +(г-е)!г, (50.12） Здесь для краткости частные производные[x (x, y) и f, y (x, y) в точках (x0, y0) представлены[x и fy. Из этого выражения мы можем видеть, что в первой половине этого раздела и пункте 20.5 2 определения касательной плоскости поверхности с явным представлением (50.10) эквивалентны. В самом § 50.Элементы теории поверхности 244. Фактически, оба определения будут иметь одну и ту же формулу(50.12). Определение 14.Уравнение на поверхности неособой точки в общем случае имеет вид: х * 0 _ н-е _ р-Р0 Ваги это хихау Да, да, да. Для явного выражения(50.10), эти уравнения принимают вид: ^ = М1 = _(2nd_th)-(50.13） 1×1У 15.Ненулевой вектор, который находится на той же линии, что и нормаль, проходящая через определенную точку на поверхности, называется этой нормалью.

Эквивалентные отображения. параметрически заданные поверхности.	Первая квадратичная форма поверхности.
Поверхности, заданные неявно.	Кривые на поверхности. вычисление их длин и углов между ними.