Оглавление:
Канонические уравнения. Теорема Якоби. Упражнения
- Если вы поместите = в нормальное уравнение, уравнение будет иметь тот же вид, но p играет роль параметра Q, и наоборот versa. To сделайте из этого выводы, для того чтобы получить Интеграл уравнений движения, достаточно знать полное интегрирование уравнений в частных производных. Да. Напишите Интеграл уравнения движения. 2. Тот же вопрос о точке, которая движется вдоль поверхности или кривой. 3. Примените метод Якоби к следующему примеру. а движение точки под действием притяжения к неподвижному центру по закону, в котором величина и направление обратно пропорциональны определенной силе и степени 2 расстояния.
Этот случай ограничивает проблемы, описанные в 307.It достаточно предположить 1 центр притяжения Бесконечности. Конфокальный конус превращается в конфокальную параболу. Селье, Вестник науки математика matiques, 1891 Сен Жермен, новые Анналов, 1892. б движение сферического маятника. 4.Уравнение движения точки вдоль неподвижной или движущейся кривой в стандартном виде. Затем мы применяем теорему Якоби. Достаточно применить общую теорему, предполагая, что параметр сводится к 1 qv 5.Рассмотрим применение метода Якоби к математическому маятнику. 6.Рассмотрим применение к вопросу статьи 260 закона Якоби. В этом выпуске, если вы установите m = 7 = = O 2 4 2a0 4 2y o , n = o 1 + cos0.
Показать, что задача о таутохроне для случая, когда существует силовая функция, приводится к интегрированию одного дифференциального уравнения с частными производными второй степени и первого порядка. Людмила Фирмаль
В дополнение к U 0, Есть только 0 параметров 1, которые играют роль параметра QF. Р1 = = Л2 0 + а Ч Пио Т У =и B 2 2размера Или в функции ПЛТ Уравнение Якоби дифференциальный клапан ДТ + 2 л Он полностью интегрирован. В = ФП а 4 Для постоянной L уравнение движения имеет вид = const = нет. ТКВ, ТКВ = Ф. Dн Дж 2ash4 2А Из формы а видно, что это уравнение тождественно уравнению движения математического маятника. 7.Дана поверхность, в которой линейный элемент может быть сведен к форме лиовилля разрез 305.Угол, под которым образуются геодезические линии в каждой точке, обозначается I, а кривая Q const. Пройдите через эту точку.
Докажите это по всей этой линии sin21 4 A cos21 = const L и Виль, журнал де xmathemaques, 1844. 8. Примените метод 305, чтобы найти геодезические на плоскости, используя эллиптические координаты на плоскости. Геодезическое дифференциальное уравнение прямая линия в этом случае будет уравнением Эйлера. Уравнение прямой в эллиптических координатах становится Интегралом уравнений Эйлера см.
Лагранж, раздел 307.Уравнения, определяющие геодезическую дугу 305, представляют собой теорему сложения эллиптического интеграла 2 го города. Darboux, Lemons sur la Theorie generale des surface, t. Ill, P. тринадцать 9. Примените метод сечения 305 для нахождения геодезических линий сферы, используя эллиптические координаты сферы. Dabu, Объем. II, p. см. 422. DS2 у = Косинус 2П. потому что 2В Ф 4… Г. cos 2p.
Уравнение для дуги геодезической большой окружности дает формулу сложения эллиптического интеграла 3 го рода. Дарбу, То Же Самое, Том. Илл, П. Тринадцать 10.Согласно 312, Якобианский метод применяется для нахождения равновесной фигуры однородной тяжелой цепи. 11. Используя 305 нотацию, чтобы доказать, что мы можем дать Если форма функции силы L в квадратуре, которая является вопросом точки перемещения вдоль поверхности Лиувилля, Щ зависит только от q , и U 1 я q. только от 2. В частности, рассмотрим движение по эллипсоиду точки, которая притягивается к центру пропорционально расстоянию Якоби.
Докажите, что давление точки на эллипс изменяется пропорционально расстоянию Куба от центра, нарисованного на эллипсе в движущейся точке до касательной плоскости. Astor, Bulletin des Sciences mathdmadiques, 1889, p. 294. 12.Метод Эллиота в случае сопротивления, пропорционального speed. In в предыдущей главе мы обнаружили, что компоненты X, Y и Z результирующей силы данной силы, приложенной к движущейся точке, являются частными производными некоторых функций U x, y, r, t. У Эллиота есть остроумное высказывание, что уравнение движения можно свести к стандартной форме, и в результате метод Якоби может быть применен, когда к силе X, Y и Z добавляются силы, пропорциональные скорости.
Например, рассмотрим движение точки массы 1 над неподвижной точкой или неподвижной точкой на движущейся поверхности y, z, t .Под действием силы ду ду ду 0 = Это сопротивление на проекции и скорости. Есть проекции A , — k постоянная. Уравнение движения d2x , ДХ ДЦ ДЧ ДТ Ди ДХ ДХ Я установим tr = e m и заменим независимую переменную на t в качестве новой переменной. У нас есть ДХ ДХ ДТ Ш. Д х dt Д х ДТ 2 И первое уравнение принимает вид РХ = 1 ДУ х ДФ ДТ 2 к Т 2 ДХ Купянск Т 2 ДХ Остальные 2 уравнения преобразуются аналогичным образом.
Поэтому, если мы положим У Х, У, Z, Т = У х, г, р, т к 4 к Т2 И затем если T = в V Уравнение принимает вид Д х ДК, З ДФ ДТ 2 ДХ ДХ г 2 то есть они переходят к уравнению движения точек без сопротивления поверхностной среды f x, y, z, i In =до этого последнего движения Пуассон, Гамильтон и Якоби применяют этот метод. После того, как общий Интеграл уравнений движения 2 найден в его окончательном виде, достаточно заменить заменить их, чтобы получить общий Интеграл. Предложено уравнение движения 1.
Если сопротивление среды пропорционально скорости действия, то тот же метод преобразования может быть четко применен к движению свободной точки или точки скольжения вдоль неподвижной или движущейся кривой. Elliot, Comptes rendus, 1893 Annales de i Ecole Normale, 1893 8. 13.Присоедините предыдущий метод Эллиота к следующему примеру. 1.Точки перемещаются по неподвижной поверхности ДС = Эду 2Fdudv + г ДВ Кроме того, функция силы равна U, а сопротивление среды пропорционально скорости V, которая равна kV, действует до точки. Ответ. Если UZ u, v, a, p полный Интеграл уравнения Уравнение движения 2.Точка движется по неподвижной кривой ds2 = Edu , а сопротивление среды равно kV. Ответ.
- Если W u, a является интегралом уравнения Д дю + 2L1G 2C7 = 0 И последнее уравнение движения это 3. Завершается расчет в случае свободных материальных точек, которые притягиваются к неподвижному центру с силой, обратно пропорциональной расстоянию и подвергаются сопротивлению среды, пропорциональному скорости. Эллиот, Анналес де я Эколь Нормаль, 1893 8. 14.Сделайте уравнение равновесия свободной нити каноническим. Элементу rfs дается свободная нить под действием в дю ДП дю г з Силой с проекцией j ds, rfs, DZ ds .Где заданная функция x, y, r и S.
Координата x, y, z и питтинг p2, p3 с количеством 7, 7, 7 и Т = Р2 q 2 наконец 7 = у + 7 = у гв В3, С П ВП р + р т Уравнение равновесия можно свести к канонической форме йй ду д, ду ДС ДП.9, ДС v = l, 2, 3. Мы применяем теорему Якоби к этим equations. In таким образом, мы получаем еще одно доказательство теоремы клебсиеллы Journal de Crelle, V. 57. Комп тесь rendus, т. XCVI, 1883, p. 688 и статья Марколонго Rcndiconti della R. Academia delle Scienze de Napoli , см. 1888.
Найти движение тяжелой материальной точки по вертикальной окружности, неизменно связанной с вертикальной осью, вокруг которой она вращается с постоянной угловой скоростью. Людмила Фирмаль
Мы приводим точно такой же метод к канонической форме уравнения равновесия нити, которая скользит по поверхности. Конт rendus, т. XCVI, 1883, p. 16.Докажите, что определитель коэффициентов q v q 2, q 3 уравнения 2 В разделе 292 равен определителю функции величины x, y, z, которая считается функцией параметра q , q3. 17.Материальные точки скользят по поверхности однородного сфероида без трения и притягиваются к этому эллипсоидальному элементу согласно закону Ньютона. Найдите движение.
Якоби, Крелл, т. двадцать четыре Согласно теории притяжения, притяжение точки эллипсом имеет проекцию X fx, Y = fy, Z = gz. Где и g константы, а ось Oz ось вращения. 18.Нарисуйте неподвижный круг 2 перемещениями к центру Ньютона и найдите движение точки под действием притяжения. Они всегда находятся на 2 концах одного и того же диаметра, и точка движения всегда находится в плоскости, которая определяется этим диаметром и осью окружности. Debov, журнал де Лиувилля, т.
Для эллиптических координат на плоскости задача интегрирования уравнения движения точки сводится к квадратуре, когда силовая функция имеет вид: 11 и 1 и 1 11 711 1 721 В космосе он имеет форму Задачи сводятся к квадрантам Степенная функция 1 41. 1 42 2 1 4 1 41 41 1 42 42 42 1 4 из 42 Где функции U2 и Uz являются каждой функцией. Измерители qlt q2 и qz. Лю Виль, журнал де Лиувилля, т. XIJx .Убедитесь, что эта форма может быть сведена, например, к функции силы, обратно пропорциональной степени подвижной точки для 1 поверхности софокуса. У= Х2. У2. 2 в 1 а б с C C C C Вы можете видеть, что Ub U U3 равно Gd C является константой.
Бык 71 72 73 Lein de la Soci6t6 mathematique de France, t. XIX, p. 102. Вы можете уменьшить функцию силы до этой формы с точки зрения скольжения по эллипсу и притяжения к центру пропорционально расстоянию Liouville, Journal de Liouvillc, vol. Увидеть Х. Этот же вопрос исследовал и щербах Crelle, vol.44, стр. 380. 20.In плоская эллиптическая система координат, движущаяся точка, как предполагается, находится под действием силы с функцией силы. B и 72 зависит от QR и Q соответственно 71 72 Возникает вопрос, когда оба фокуса бесконечно приближаются друг к другу перед слиянием в точке O Ответ.
В уравнении a b + e, предполагая, что бесконечно мало, q = a p , q2 a r , x2 = rz, y r2, y = y y g Где r радиус вектор, излучаемый из center. So, U сумма 2 членов, 1 зависит только от r, а 2 й однороден по координатам с индексом равномерности 2 Liouville, Journal de Liouville, vol. Сиж. f 21.In случай эллиптической системы координат и ее ограничения, это единственная реальная система, которая может свести квадрат линейных элементов плоскости к форме лювира. = Ф Б Ф1 Предельными случаями являются декартовы координаты, когда оба фокуса бесконечны, параболические координаты, когда только один из фокусов бесконечен, и полярные координаты, когда оба фокуса сливаются.
Лиувилля, журнал де Лие, объем. XI и XII. работы победители, Comptes rendus, см. s6ance publique, 1892 12, стр. 1122 22. Если известно полное интегрирование 300 уравнений в частных производных W x, y, z, a, J, h , то исчезают на заданной поверхности еще один Интеграл того же уравнения x, y, d =0. Метод Лагранжа для получения общего интеграла от полного интеграла. Если этот Интеграл определен, то траектория, перпендикулярная указанной поверхности, равна поверхности W = const.
Расстояние между этими 2 поверхностями одинаково для всех траекторий Darboux, Lemons sur la OIE generale des surface, vol. II, глава II. См. VI и V II. 23.In плоское движение, функция силы предполагается в виде: 1 1 6 = Axw 4 Вупи Где A и B произвольные константы, а m и n целые числа. Докажите, что уравнение Якоби W является полным алгебраическим относительно x и Y.
Из этого следует, что можно получить бесконечное число ортогональных алгебраических систем, включая заданную алгебраическую кривую Darboux, Lemons sur la Thccorie производит поверхность des, т. п., Ch. ВЛ. 549. 24.Любое решение якобианского уравнения в частных производных W теорема. Пусть UZ x, y, r любое решение дифференциального уравнения в частных производных, содержащее или не содержащее константу. Кривая нормальна к поверхности Ш х, у, Z = Конст.
Смотрите также:
Решение задач по теоретической механике
| Точка на поверхности | Моменты инерции |
| Брахистохроны и фигуры равновесия нитей в случае силовой функции. Задача рефракции | Определение моментов инерции |
