Изоморфизм групп. Подгруппы

Изоморфизм групп. Подгруппы

• Групповой изоморфизм. Подгруппа. Пример рассмотрен Предыдущий абзац (см. Примеры 4 и 5, примеры b и 7) Они говорят, что есть группы с различной элементарной природой, Однако используйте те же свойства группы. Такая группа Естественно называется изоморфизм. Разработайте точное определение этого понятия.

• Определение 1. Две группы G1 и G2 называются изоморфными, Когда есть взаимно-однозначное отображение / группы G \ Группа G2 для любого элемента a и b группы G Условие f (ab) = f (a) / (b). Если e1 является единицей Gi, а e2 является единицей Gi, Для G2 f (ei) = e2. На самом деле, f (ei) = f (e \ e ) — f (ei) x Умножение обратного x / (ei) и / (ei) e2 = f (ei).

Кроме того, обратное отображение j в x в G2 G2 необязательный элемент x и y группа G \ соответствует требованиям GChu) = G1 (x) G1 (y). Людмила Фирмаль

Кроме того, a из G \ из уравнения e2 = f (ei) = = f (aa ~ 1) = f (a) f (a ~ 1) Это инверсия элемента f (a) Элемент / (~ 1). Поэтому изоморфные группы рассматриваются абстрактно Тем не менее, с точки зрения группы, без указания характера элемента Свойства не могут быть различены. Примечания 1.

Как правило, соответствие между группами одного типа G \ и называется (? 2 изоморфизм или изоморфизм Живя из одной группы в другую (конечно, обе группы Равные права). Замечание 2: группа G изоморфизм Это называется автоморфизмом. Групповой автоморфизм характеризует его определенным образом Симметрия. Когда отдельные автоморфизмы группы рассматриваются несколько.

• Последовательная реализация элементов и автоморфизмов — как Произведение соответствующих элементов, сам автоморфизм. Сформировать группу (элемент идентичности — это личность Физическая). Эта группа называется автоморфной группой этой группы.

Легко видеть автоморфную группу группы Z ^ (см. Мера b) предыдущего элемента имеет тот же тип, что и та же группа. Важную роль в теории групп играет понятие подгрупп. Определение 2. Группа G подмножество элементов G \ называется Если условие выполнено, подгруппа этой группы: 1) элемент Поскольку a и b принадлежат G \, a принадлежит G .

2) Элемент А Если он принадлежит G \, обратные элементы a к r также принадлежат G . Людмила Фирмаль

Подгруппа G группы G считается независимой Набор, операции умножения которого определяются по следующим правилам: Положение из охватывающей группы G представляет группу. Проверка этого утверждения не сложна. Простейшей подгруппой любой группы является ее единичный элемент. Мужчины. Еще один пример — все четные подгруппы G \ Номер группы G для сложения всех целых чисел.

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Законы композиции	Смежные классы. Нормальные делители
Понятие группы. Некоторые свойства групп	Гомоморфизмы. Фактор-группы