Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями

Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями

Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями. Для ясности а приведем некоторое число а. согласно принципу Архимеда, существует целое число n a. числа n = 1, 2,…возьмем наименьшее из n, обладающее свойством n a, и представим его с помощью a + 1. Разделите отрезки 1 = [a; и T 1]на 10 равных отрезков. То есть рассмотрим отрезок| ^ a, ax; a, A T u], где a, a-десятичное число, a-серийный номер сегмента, содержащего число a, а Сегмент 1-число 1, 2 слева направо… …При последовательной нумерации на 9 он берется при делении отрезка 1 на 10 равных отрезков здесь.

Как обычно, здесь мы не используем разделитель между двумя концами отрезка как точку с запятой, но используем точку с запятой, чтобы отличить его от знака. Людмила Фирмаль

• Есть 2 возможных случая. Точка а не совпадает с точкой деления (рис. 13), или точка А совпадает с 1 точкой деления (рис.14, 15). в первом случае точка а принадлежит только 1 из этих сегментов. Он представлен символом/]_. То есть, 11 = / ^ a, ax; oh, oh+. 2-й случай, точка а МО Может принадлежать к 2 смежным сегментам (рис.15).Тогда 11 = / ^ a, ax; a,+ » Y Точка а-левая edge. In в обоих случаях€1g. разделите отрезок 1r на 10 равных отрезков, 12 = [a, a^; a, aha2 + 1 2] Сегмент результата. Это включает в себя a, и точка a не является крайней правой. Если вы продолжите этот процесс, вы получите систему вложенных сегментов. Конечная дробная часть an и ap называются дробными частями, которые близки к числу a. точнее, число an называется нижним 10-опережающим приближением Порядка n, а число an называется верхним 10-опережающим приближением того же порядка a.

Они имеют следующие характеристики, которые следуют непосредственно из их определения: если a, то для его определения установите B = —a Н = БН, Ан = вна ’ В этом случае свойство (4.56) (4.58) очевидно сохраняется, но только признаки и изменения неравенства (4.56). Свойство (4.57) означает, что сегмент[an, an]образует вложенную систему сегментов. Из свойства (4.58) следует, что длина отрезка[an, an] стремится к нулю. Наконец, (4.56) означает, что точка а принадлежит всем этим segments. So, согласно замечаниям§ 4.5 2, это предел ребер an и an. Так, в частности, доказываются следующие леммы: Лемма L. каким бы ни было число a, последовательность {an}увеличивается, а последовательность{an}уменьшается. Результаты. Все действительные числа являются пределом последовательности рациональных чисел.

• Следствия леммы вытекают из того факта, что an и an являются рациональными числами. Где а = а, А2… давайте попробуем еще раз. Свяжите число a с бесконечно малым числом a, a2… АР… Где a-неотрицательное целое число и an, n = 1, 2,…1 и 2, соответственно… Подчеркните, что 9 это одно из чисел 1.Число a является единственным числом, принадлежащим всем сегментам 1n, n= 1, 2,… Поэтому в указанном соответствии разные десятичные дроби соответствуют разным числам. То есть они отличаются как минимум на 1 АК(V=, 1, 2,…это не так. Кроме того, следует отметить, что при такой структуре нельзя получить дроби в 1-значном 9 Periods. In дело в том, что следующая дробь соответствует числу а. а, а… а 9… 9…И в таком случае Неравенство и^ ^9.Затем по структуре. Для всех NN, n-это дробь a, a,… а 9… 9.Число цифр справа от десятичной дроби point.

So, a-самый правый из всех отрезков 1n, n Po, что противоречит выбору этих отрезков. Такая дробь называется приемлемой. Наконец, в результате описанного соответствия каждая бесконечно допустимая дробь a, a, a2… АР.. Вы можете видеть, что это связано с определенным числом a, то есть уникальным числом, принадлежащим всем сегментам. Это соответствие также может быть распространено на отрицательные числа. Число а-это дробь а, а… АР.. Если вы соответствуете числу а, то дроби-а, а… АР.. Вы также можете использовать Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Итак, при установленном соответствии каждому вещественному числу а соответствует определенная инфинитивная дробь, не имеющая периода в 1 цифре 9. Людмила Фирмаль

• Теорема 6.Существует соответствие 1-к-1 между множеством всех действительных чисел и множеством разрешенных десятичных знаков. И в этом соответствии число а соответствует дроби±а, А2… один… Если это так, то число a соответствует бесконечно малой доле части±a, a2… АР.. Его 10 десятичная нотация называется и используется для обозначения его. Поэтому они и пишут Если существует период, состоящий только из нуля в бесконечном числе. а, А2… АР.. …И aP^, эта дробь, как говорят, имеет n значащих цифр после десятичной точки. Как правило, никакие нули не записываются в течение периода. То есть, указанный номер записывается.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Бесконечно малые последовательности.	Счетные и несчетные множества.
Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.	Верхний и нижний пределы последовательности.