Оглавление:
Излучение при кулоновом взаимодействии
- Излучение при кулоновом взаимодействии. В этом разделе мы выведем серию для справочных целей Уравнение связано с дипольным излучением системы двух заряженных частиц. Предполагается, что скорость частиц мала по сравнению со скоростью света.
Равномерное движение всей системы (т.е. движение Центр инерции) не представляет интереса, так как не приводит к излучению. Следовательно, необходимо учитывать только относительное движение частиц. Выберите начало центра инерции.
связанного с эллиптическим движением двух частиц Людмила Фирмаль
Далее дипольный момент системы d = e \ T \ + + B2G2 записывается как d = e-im-2-7-b-2-W-1 T = ^ ((-e- \ ———) \ r, f (^ 7n0. 1l \ т 1 + м 2 \ т 1 м 2 / Где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, r = ri-r2 Между ними есть радиус-вектор, / l = (77747712) / (rai + m 2) — Уменьшенная масса. Начнем с излучения, , притягиваемых по закону Кулона.
Как известно из механики (см. I, §15), это движение можно описать как движение частицы массы / л вдоль эллипса, а форма уравнения в полярных координатах имеет вид 1 + Эко (f = — (70,2) г Здесь большая полуось а и эксцентриситет е равны. а = -уе = Д_2К1 (70 3) Где <§ — полная энергия частицы (без статической энергии!),
- Отрицательная с конечным движением. M = fir2 (p — момент импульса, a — постоянная закона Кулона: a = | eie2 |. Координатная зависимость от времени может быть описана в виде параметрических уравнений r = a (1-ЈcosЈ), t = a / — (Ј-ЈsinЈ). (70,4) в Полное вращение эллипса соответствует изменению параметра от нуля до 27t. Период путешествия T = 2 тр но
Определить фурье-компоненту дипольного момента. С точки зрения Периодичность движения говорит о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору r, проблема заключается в координате x = r cos <r l y = r sin (p. Зависимость x l y
Удобнее вычислять координаты по координатам Людмила Фирмаль
от времени определяется параметрическим уравнением. x = a (cosЈ-е), y = ay / 1-е2sinЈ, ouot = Ј-ЈsinЈ. (70,5) Частота введена здесь 2tg _ n r _ (2 | ^ |) 3/2 ^ 0 гр \ / 3 1/2 Т у цзя ча (я , а не по компонентам Фурье Фурье-компонента скорости. xn = -iuuoriXn, yn = -ioopup. У нас есть T X n = -Магазин Шппт г я впереди ± д т ‘ о Но xdt = dx = — asinЈdЈ; от интеграции через dt Больше интеграций у нас есть: 2р xn = — ^ —
}. (70.10) В результате получается функция Макдональда K v \ / n = 64 н V 4 / е \ 9tg2 s3- + + K; 2/3 (1_Ј2) 3/2]} (1_Ј2) 2 (Формула, необходимая для этого, приведена в примечаниях на стр. 210 и 275). Теперь рассмотрим столкновение двух притянутых заряженных частиц. Их относительное движение описывается как движение массы / л частицы вдоль гиперболы 1 + ЈCOS (f = а (г2-1) (70.11) где a = 22S «; Ј-4уу / 1- + flOL1 (70,12) (В настоящее время §> 0).
Зависимость от времени 2 SM2 1) 1 из интеграла 7G Jn (ns) = -cos [n (Ј-ЈsinЈ)] 7G U о Основную роль играют маленькие мотыльки (подынтегральная функция быстро вибрирует, потому что она не маленькая). Таким образом, разлагая аргумент Косинус силы осина: о Jn (ne) = ^ J cos [га (1 2Јg + ^ -)] о
Верхний предел заменяется на oo, чтобы обеспечить быструю сходимость интегрирования. Поскольку член первого порядка имеет малый коэффициент от 1-Ј до (1-e2) / 2, член в Ј3 должен быть сохранен. Полученный интеграл очевиден Замена будет в форме (70,9). Метрическое уравнение / w3 r = a (echЈ-1), t = J- (e s hЈ-Ј), (70,13) но параметр выполняет значения от –os до + os.
Для координат Ну у нас есть x = a (e-ch2), y = ay / e2-1 sh2. (70.14) Расчет компонента Фурье (теперь речь идет о расширении интеграла Фурье) выполняется точно так же, как и раньше. В результате ush = — ™ y / P ~ ^ -nЈ) (b), (70.15) ЛО ЛОС Здесь первый вид функции Ханкеля ранга IV и чтение 1 / = «= ^ (70.16) y / a / fia3 iiv o (R ^ o —
относительная скорость частиц на бесконечности, энергия § = / xr ^ o / 2). Для расчетов используйте известные формулы / evi-ixshЈ ^ = ^ i ^^ rg). (70,17) Присвойте (70.15) выражению 4си 4/12 (ei e2 \ 2 / | | 2, I | 2 \ du d = ~ 3C C ~ V (7-77 — 1 —— 7-7-7-2-2) + ^ Г27Г (См. (67.10)), приобретение 1) KM’K (70.18) Что очень интересно, так это «эффективное излучение»
Рассеяние пучка поступательных частиц (см. §68). Чтобы рассчитать, умножьте на 2npdp, Все р от нуля до бесконечности. Интеграция на дп это 27xpdp = 2’KO? Ede \ заменяется интегрированием по de (диапазон от 1 до os), используя тот факт, что это соотношение получено. В определении (70.12) момент M и энергия <§ являются расстоянием столкновения p и скоростью r ^ o M = fipv0,
Полученный интеграл получается по формуле 2 ‘z? + (Ј-l) z t \ = Ј (z Z rZ’p), Где Zp (z) — произвольное решение уравнения Бесселя порядка p1). С ε-> ° ° и отсутствием функции Ханкеля H ^ (ive) результат dKnj = 4l 2 3 / 7g а и (ее \ QVLJjSc3 \ (5 -? -) (70,19) W1 777-2 / т 1 777-2 Рассмотрим ограничение случая мелких и крупных деталей STOT. С интегральной сы J = (70,20) — Siu
При определении функции Ханкеля важен только диапазон значений значений интегральной переменной, а показатель степени составляет порядка 1. На низкой частоте Следовательно, (^ <1) существенно в областях, где <велико. Но большой имеет shЈhave. Поэтому примерно сы HЈ \ iv) * J e — sh ^ = H $ \ iv). -Sj
Точно так же, Наконец, используйте приближенную формулу, известную из теории функций Бесселя (для малых x) 1H ^ \ gx) и 7T J X (7 = ec, C — постоянная Эйлера, 7 = 1,781 …), Следующая формула для эффективного излучения на низких частотах: Если w «> 0. (70.21) 3VqC \ W 1 777-2 / \ juaJ a 4 ‘ Логарифмически зависит от частоты. И наоборот, для больших частот (v 1) интеграла (70.20) важны небольшие сгибы.
Следовательно, показатель степени подынтегрального выражения расширяется силой нас и составляет примерно следующее. О корка -1 до J exp (- ^ 3) dЈ = — * Re {j exp (- ^ 3) #} • При подстановке ivt ^ j 6 = 77 этот интеграл сводится к функции Γ, так что ‘6 \ V 3T Это /% ‘ Аналогично, /% Наконец, используя известную теоретическую формулу функции Г 7G G (г) G (1-г) = что-то Для получения эффективного излучения на высоких частотах: = 3/2 ^ s (~ -dw для w> -, (70,22) 33 / 2VoC3 \ m 1 m2J a v ‘
Другими словами, это выражение, которое не зависит от частоты. Посмотрите на тормозное излучение в случае столкновения Две частицы отталкиваются по закону U = a / r (a> 0). Движение преувеличено x = a (e + chЈ), y = al / e1-1shЈ, t = J + Ј) в (70.24) (А и е взяты из (70.12)). Все расчеты в этом случае непосредственно приводятся к вышесказанному и не требуют пересчета. Конечно цельный Ха я xCw = — / esh = -I e ^ (Јsh ^) s hЈdЈ
Подставляя координату- »in-, для компонента Фурье координаты x — притяжение сводится к тому же интегралу, что и притяжение, То же самое можно сказать и о умножении ушей с -e_7G1 /;. Следовательно, формула компонентов Фурье xh и yy имеет вид В случае отталкивания они отличаются от соответствующего представления в случае притяжения фактором e_7G1 /.
Следовательно, в формуле излучения отображается дополнительный коэффициент e ~ 2pi. В частности, если частота мала, получается предыдущее уравнение (70.21) (если v <C1: e ~ 2ni / «1). Большой масштаб Эффективная частота излучения = -17GG »f —) w 2exp» & (70.25) 3 / VqC \ W 1 w 2 / V ‘ По мере увеличения частоты она экспоненциально уменьшается.
Задача 1. Определить общую среднюю интенсивность излучения во время эллиптического движения двух притягивающих зарядов. Решения. Используя уравнение дипольного момента (70.1), полная интенсивность излучения I = OWc V t — \ — m 2) ‘’** = go s r \ (m-i-m 2’ g Кроме того, было использовано уравнение движения η = -аг / 33.
Выразите координату r через ip в соответствии с орбитальным уравнением (70.2) и интегрируйте Заменено на интегрирование с использованием уравнения dt = fir2 dtp / M Угол <р (0-27 г). Результат — умеренная сила. T J Zs Vmi 777-2 M V TSA » о 2. Определить суммарное излучение A <^ при столкновении двух заряженных частиц.
Решение: для притяжения путь является гиперболой (70.11) и (70.23) для отскока. Гиперболическая асимптотика Его ось, угол (po, = b cos (определяется из po = 1 / е, и угол отклонения частицы) (В системе координат, где центр инерции неподвижен)% = | 7r-2 <po \ — Расчет выполняется так же, как и в задаче 1 (принимается интеграл по d <p Между — (ро и (ро).
В результате при привлечении: = 2 млн тг. I [, „+ x) (, + 3tg * I) + 6t6 1] (» ._ 3s a 2 L \ 2 / 2-1 Vmi m2 ‘ В случае отскока: = 2 млн тг. I [, „_ x) (, + I) _ 6t6 1] (« ._-) 2. 3s a 2 L \ 2 / 2-1 i m 2 ‘ В обоих случаях% означает положительный угол и определяется из соотношения х = л 2 а При лобовом столкновении отталкивающих зарядов происходит переход к пределу И 0, X-> ■ I- 45 секунд Q ‘7711 777-2’ 3. Определить суммарное эффективное излучение при рассеянии потока частиц в поле кулоновского отталкивания.
Решения. Требуемое значение оо оо оо оо x = [(1M2pr <1p = 2n (—) 2-2n [(\ dtp dp. J J 3 C ‘777-1 м2 / J J г О-о-о-о Интегрирование по времени заменяется интегрированием по dr вдоль пути заряда и записывается как dt = dr / vr. Здесь выражена лучевая скорость vr = r. G по формуле Vr. , _ ———— CG Интегрирование по dr выполняется от бесконечности до ближайшего к центру расстояния r = r (p) (vr = 0), затем r Вернитесь в бесконечность.
Это удваивает интеграцию от ro до sy. Удобно вычислять двойной интеграл, меняя порядок Интеграция — сначала по дп, а потом по д-ру. В результате ^ _ 8tgOLfLV® / е \ б2 \ 2 9 секунд 3 ‘777/1 777-2’ 4. Определение углового распределения полного излучения, когда скорость одного заряда, проходящего через другой, очень высокая (но мала) Отклонение от прямолинейности движения (по сравнению со скоростью света) можно считать небольшим.
Решения. В случае кинетической энергии fiv2 / 2 угол отклонения мал Величина потенциальной энергии больше, чем a / p (fiv2 a / p). Выберите плоскость движения в качестве плоскости xy Начало координат находится в центре инерции, а ось X — в направлении Скорость. В первом приближении траекторией является линия x = vt, y = p.
В следующем приближении уравнение движения имеет вид = X ^ ax a v t .. a y ar ~ tsu = ~ Гр гр гр гр гр гр гр далее R = \ J X2 + y2 \\ Jp2 + v2t2. Используя уравнение (67.7) 2 ° ° dS’n = do- ^ r (————) f [x2 + y2– (xnx + yn) 2] dt, 47GF ^ m I 777-2 U — О Где n — единичный вектор в направлении do. Представление подынтегральной функции Выполняя представление и интеграцию с т, = 0320vQcs3 pzs \ m 1 t2 ‘(4 “n * ~ 3nl) до
Смотрите также:
| Дипольное излучение при столкновениях | Квадрупольное и магнитно-дипольное излучения |
| Тормозное излучение малых частот | Поле излучения на близких расстояниях |
