Оглавление:
Излучение гравитационных волн
- Излучение гравитационных волн. Подумайте о слабом гравитационном поле, созданном телом Двигаться с меньшей скоростью, чем Легкий рост. Уравнение силы тяжести из-за присутствия вещества Поле отличается от простого волнового уравнения
Форма □ hk = 0 (107.8) существования в правой части уравнения Термин получен из тензора энергии импульса вещества. Запишите эти уравнения в виде 1 * Фк = ^, (П0.1) Здесь мы ввели более удобное количество в этом случае вместо hk Φ = hik ~ \ sth, И, возможно, условно показывая дополнительные выражения, я получаю При передаче точного уравнения гравитации на случай Приближенное слабое поле на рассмотрении.
Отдельные количества от соответствующих компонентов Т Небольшой интересующий нас заказ Людмила Фирмаль
Легко увидеть Ингредиенты Tq и T® ; включены с Nent, члены, полученные из него , R k-SkR / 2 x). Значение fc удовлетворяет условию (107.5) dfk / d xk = 0. (110.1) показывает, что то же самое уравнение справедливо для mk \ А = ° — <w -2> Это уравнение заменяет здесь общее соотношение T kk = 0.
Используя письменное уравнение, рассмотрим следующую задачу: Энергия, излучаемая движущимися объектами в форме гравитации Нью-йоркские волны. Чтобы решить эту проблему, нужно определить гравитацию Поле в «волновой зоне», то есть при большом расстоянии По сравнению с длиной излучаемой волны.
Все расчеты в основном полностью похожи на них Сделано для электромагнитных волн. равных Слабое гравитационное поле (1 1 0,1) совпадает по форме Уравнение потенциала задержки (§62). Поэтому их Общее решение может быть сразу написано на форме # (1 Вт .3) Поскольку все объекты в системе медленные, Вы можете написать большое расстояние от системы (см. §66 и 67). F! = / (Rht-Ro / cdV, (110,4)
Где Ro — это расстояние от источника где-то Что-то в системе; индекс t-интегрировать Ro / C Понижение формулы для краткости. Используйте уравнения для расчета этих интегралов ми (1 1 0,2). Пропустить RF индекс и выделить место Для временного компонента напишите (1 1 0,2) в форме dt ^ dtoso gl dto ^ y dtoo n / i in cg \ 1 ^ — ^ = ° ′ (и 5) Интегрируем целое и умножаем на первое уравнение блуждающий Ј / r ^ L Y _ I = I -d ^ l dv-1 r ^ V.
и общая половина оставшегося равенства Индекс дает Людмила Фирмаль
Первый интеграл верен, потому что бесконечность = 0 Часть, преобразованная по теореме Гаусса, исчезает. То же, что и переезд, : J ra / 3d v = — \ — ЈоJ (Gaoh ^ + T / 3oX) dV. Затем умножьте второе уравнение (110.5) на xah @ Интегрировать во все пространство.
Подобное преобразование Образование ведет к равенству j tohaxP dV = -j (ta0XP + Tfj0xa) dV. Сравнивая оба результата, J Ta.fi d v = ^ (^ o) JТ00хах13 dV. (110,6) Таким образом, интеграл всех смол Через интеграл, содержащий только компоненты Но этот последний совпадает с соответствующим, как указано выше Компонент тензора энергии импульса, достаточный Точность (см. (99.1)) тоже = ms2- (110,7)
Подставляя это в (110.6), вводя время t = x ° / с и переписывая Ешь в форме (110.4) / а / З = f ^ X 13 dV- (110,8) Если расстояние от вашего тела велико, вы можете рассмотреть: Ну как квартира (на небольшом участке пространства). так Рассчитать поток энергии, излучаемый системой Используйте формулу (107.12), чтобы двигаться в направлении оси x1.
Эта формула содержит только компонент / l23- ^ 23 и ^ 22- — / 133 = -022-Фзз- (110.8), чтобы найти эти выражения 1) h23 = -o ^ s KDo 23, h22-hzz = -o ^ s -K (oD22-Dzz) (110,9) (Точка означает различие во времени), место введения Тензор момента квадрупольной массы (99,8) Da / 3 = Jc (3xx @ -r2Sap) dV. (1 1 0. 0 0) В результате плотность потока энергии в следующем направлении известна. Форма оси X 1 CtW = — ^ [(Д »-Дзз) 2 + д2 1 (110П) Z67Gs Rq LV 2) 26 \ V ‘
Поток энергии к телесно-угловому элементу в заданном направлении Умножьте на Rq do и получите отсюда. Два члена в этом уравнении соответствуют двум волновым излучениям. Независимая поляризация. Сделать их инвариантными (не 3) в зависимости от выбора радиального направления)
Плоская гравитационная единица измерения тензора поляризации Wave eaЈ. Это из чего га / 3 компонента Ненулевой (датчик / ^, hoa = / goo = h = 0). Тензор поляризации симметричен и удовлетворяет условию & OLOL-0, Ca / Z’P ‘/ Z-0? ^ ol (3 ^ ol (3-1? (110. 12) Где n — единичный вектор направления распространения волны Нас; первые два условия представляют тензор и горизонтальную ось Wave.
Используя этот тензор, учитывая интенсивность излучения Поляризация на телесный угол сделать дл = — ^ (Da0eap) 2. (110,13) Это выражение неявно зависит от направления n — Через условие пересечения exp = 0. Общее угловое расстояние Распределение излучения всего поляризованного света получается суммированием (110.13)
Поляризованное или эквивалентное среднее Поляризация, умноженная на результат 2 (независимое число Поляризация). Усреднение производится по следующей формуле: ^ а. (3 ^ «y8 = ^ \ _ T1aT1 {zT1yT1 $ ^ 7 ^ 8 ^ a. (H) {rb (yT 1 ^ 6 (38 “I” P / s P ^ b ^ + Tb (xTl§S ^^ y T b ^ Tl§S (x j) ^ а / 3 ^ «у8Н» (fiajfi / 38Н ”$ (3j $ ol8)} (110.14)
(Выражение справа — это тензор, составленный из единичных тензоров. вектор n с ра и требуемой симметрии Индекс, дающий упрощение единиц в парах Потеря по индексам a, 7, / 3, S и скаляру Умножение). В результате k = ld ^ FarPaPr) 2 + ^ D 2ap-D 0, j3 Dainpn1 do. (110,15) 367GS
Общее излучение во всех направлениях, т.е. потери энергии Система за единицу времени [-d S / d t \ может быть найдена путем усреднения d l / do в направлении n и умножьте результат на 47g. Усреднение Вы можете легко создать его, используя формулу, описанную в примечании. р. 255, и приводит к выражению (А. Эйнштейн, 1918) _df_ _ k ^ 2 дт 45с1 JD IP (110,16)
Гравитационно-волновое излучение Эффект 5-го порядка 1 / с. Эта ситуация Вообще говоря, малая гравитационная постоянная k, тростник Однако эффект крайне мал. Z a z h 1. Два объекта, нарисованные по закону Ньютона и движущиеся по кругу Высокая орбита (вокруг их общего центра инерции).
О ограничение среднего (по Цикл циркуляции) Интенсивность гравитационно-волнового излучения и его Распределение по поляризации и направлению. Решения. Если вы выберете источник в центре инерции, Радиус-вектор двух объектов: 777-2 777-1 1 * 1 = ———- G, G2 = ————- G, G = 1 * 1-g2. 777-1 + 777-2 7711 + 1712
Компоненты Tensor Dap (плоскость xy совпадает с плоскостью движения): Dxx = fir2 (3 cos2 f-1), Dyy = fir2 (3 sin2 f-1), Dxy = 3fir2 cos f sin f, Dzz = -fir2 Где [I = mim2 / (m ++ 2), φ — полярный угол вектора r в плоскости xy. в Круговое движение r = const, φ = r ~ 3 ^ 2 y / k (mi + m2) = w Направление n — сферический угол (полярный угол Мутность <p) с полярным острием z, перпендикулярным плоскости движения. 1) ev ^ = 1 / y / 2, 2) evv = = -e <p <p = 1 / d / 2.
Проецируйте тензор Dap в направлении сферы Рассчитать с компаньоном и e <p, уравнением (110.13) и средним по времени, В результате, если эти два случая и сумма I = D + I 2: d li k q 2sh6g * 2 d l2 kfi2oj6rA, 2 —— = -z- • 4 cosв, ——- = -z- (1 + cosв), до 2тг с5 до 2 вт v ‘ дл к / л2ШвГ4, 2 а, 4 т ———— z— (1 | -—6 cos 0 -b cos 0), до 27 г с После интеграции инструкций: dS _ _ 32kfi2uj6r ^ _ 32k4t21712 (1711 + w 2) Ii _ 5 ~~ dt ~~ 5c® ~~ 5c V ′ I2 ~ 7 (Чтобы рассчитать только общую интенсивность I, Однако используйте (110.16)).
Потеря энергии высвобождается из ее системы постепенно ( Например, примирение обоих тел (столетия назад). Так как = —ц \ м2 / 2 г Скорость приближения , _ 2g2 d S _ 64fc3m im 2 (m i + w d) k t \ r p 2 d t bs5g 3 2. Найти среднюю (циркуляционную) энергию, выделяемую в пене Гравитационные волны от системы двух объектов, движущихся по эллипсу Орбита (Р. С. Питерс, Дж. Мэтьюз 1)).
Решение: в отличие от кругового движения, расстояние r и Угловая скорость изменяется по траектории в соответствии с законом —® 1 ^) — ii / dph 1Г7 / I \ / — | 2 \] 1/2 ———— = 1 + eco sф, — = [fc (mi + Ш2) а (1-))] ‘, г д т г Где e — эксцентриситет, а a — большая полуось орбиты (см. 1, 15). привлекательный Длинный расчет по (110.16) _ jg = + ■ «.)) (1 + с„ ф). 1 p (1 + e c o stf + eW D. a t L o a s (^ 1 6 j
Усреднение по циклическому периоду заменяет интеграл по d t Интеграция через df дает результаты. dS_32k m im 2 (m i + w 2) 1/73 2; 37 4> ~~ dt ~ 5 ^ V (1-е2) 7/2 V24е96е) Обратите внимание на внезапное увеличение интенсивности излучения Выявление эксцентриситета орбиты. 3. Определить среднюю (временную) скорость потери момента импульса Стационарная мобильная система, которая излучает гравитационные волны.
Решения. Для удобства рассмотрим формулы временно Формирует тело, состоящее из отдельных частиц. Представь себе среднее «Коэффициент потерь энергии системой как работа, воздействующая на частицы силы Трение «ф: t dEfv (ч (Указывает, что количество частиц не экспортируется.)
Тогда средняя скорость Потеря момента рассчитывается как ДМА — [рф] О! -egpjXpfj (2) дт (Сравните вывод уравнения (75.7).) определить f д & к б DT ~ 45 с®13 и ~ 45 с ^ (Исчезновение среднего значения общей производной для Время). Подставляя Dap = J ^ m (3xaVj3 + 3xpva-2rvSap) здесь для сравнения В формуле (1), От 2 до (у) U = Подстановка этого выражения в (2) дает результат. dMa _ 2k ^ ri (v) d _ 2fc ^ ^ ^ ~~ dt ~~~ 45с5I36 7 (5-_45с5е ° сР1Р5l5 ‘^’ 4.
Для системы двух объектов, движущихся по эллиптической орбите, Средний импульс, потерянный за единицу времени. Решения. Расчет по предыдущему заданию по формуле (3) Результат получается, если он логически совпадает с результатом, сгенерированным в Задаче 2. dMz _ 32k7 / 2m (nri2y / m \ + Ш2 дт 5с5 а7 / 2 (1 • В круговом движении (e = 0) значения $ и M естественно Соотношение S´ = Mi.
Смотрите также:
| Гравитационные волны в искривленном пространстве-времени | Изотропное пространство |
| Сильная гравитационная волна | Закрытая изотропная модель |
