Оглавление:
Итерационный метод П.Л. Чебышева
- Итерационный метод П. Л. Чебышева 12). Где-нибудь выше Учитывая общий неявный простой итерационный метод, Предполагалось, что параметр итерации m принимает одну и ту же постоянную Текущее значение. Эта идея является более общей Если значение параметра итерации равно: Па зависит от количества итераций.
- В этом случае последовательность Повтор не определяется соотношением VHK + 1-HK. Более общие отношения VHk + 1 к Хк Тк + 1 AHk = F. Кроме того, как упоминалось выше, B является легко обратимым квадратом Матрица степени n. Выбрав эту итерационную последовательность Ошибка Zj ~ = X ^ — для X в итерационной схеме соотношение Z Zk + AZk = 0. F.15 *) .
Предположим, что обе матрицы A и B симметричны и положительны Но это понятно. Людмила Фирмаль
Затем, как указано выше Константы интегрирования 71 и 72 такие, что jiB ^ A ^ 72 ^ г, эти константы 71 и 72 даны нам и запомни еще раз. Эти константы равны минимальным и максимальным значениям Собственное значение задачи AX = XBX. Оцените свою энергию Уровень ошибок || Z ^ || ^. Симметричный и положительно определенный Существует симметричное положительно определенное значение матрицы B 12)
Пафнутий Львович Чебышев, А821-1894) — великий русский математик, Механик. Матрица B1! 2 подобна B1! 2-B1! 2-B. Как указано выше, Я хочу показать обратную матрицу B1 с символами B ~ 1 // 2! 2. Для оценки нормы погрешности Zk, Zk = = B ~ X12 • Vfe. В такой замене, ошибка Zk отношения В случае 14 это становится следующим соотношением. Vk + 1 = (E-rk + 1C) -Vk (k = 0, 1, 2, …).
C обозначает матрицу вида от C = B до X12 • A • B до X12. ВБО Предположим, что квадрат нормальной нормы вектора 14 равен квадрату Энергетическая норма вектора Zk. на самом деле | 2 = (Vfc, Vk) = = (BZk, Zk) = \ Zk \ 2B. Следовательно, достаточно оценить энергетическую норму Zk. Нить нормальная скорость вк- Оценим норму || T4 ||.
Прежде всего, «Yi (BX, X) ^ (AX, X) ^ 72 (^ ^ 5 X) замена X = = B ~ X12 • Y, получим неравенство 7i (^^ 0 ^ (CY, Y) ^ 72 (^ 5Y). Последнее неравенство является jiE ^ C ^ 72 ^ — Кроме того, поскольку матрица C = B ~ 1 // 2 • A • B ~ X12 является симметричной, Все собственные значения этой матрицы действительны и расположены Написать сегмент [71, 72] -отношение 14 + 1 = последовательно = (E-mk + 1 -C) Число k Vk = 0, 1, …, будет Равенство:
Тогда сразу следует к Великобритания \ P Но тогда из равенства Где q Y \ 4 || = || c означает || ^ || b. -tjC) \. Поэтому итеративный процесс Сходятся в условиях, когда последовательность {qk} стремится к нулю. И чем быстрее, тем меньше qk. Потому что каждое значение QK является функцией параметров dm \, T2, …, Tk, вызывают проблемы построения оптимального множества Итерационные параметры из фиксированного минимального условия qk к.
- Давайте перейдем к решению этой проблемы. Предположим, что существуют все собственные значения Xs матрицы C Учитывая симметрию конкретного отрезка [71, 72] -матрицы C, Следующая задача оптимизации достигнута. минут , Т2, …, мк) = мм {Н P = мм <макс [71, 72] потому что все X находятся в сегменте? Расширить регион вдоль Получено как максимальное значение. Минимальное qk (ri, r2, …, 77.) Мин <макс {tj} I 71 ^ 72
Полученная грубая задача имеет более простое решение. за исключением той Кроме того, при решении таких задач информация о подключении Специфическое расположение собственных значений Xs в интервале [71, 72]? Однако рассматривается только граница этого сегмента.
При таком подходе Создает оптимальный набор параметров для произвольной матрицы Структура. Людмила Фирмаль
Приступить к решению указанной грубой задачи оптимизации. Положим P (t) = Yij = i (от l до Tjt) и полином P (t) Создать условие нормализации P @) = 1. Путем замены переменных Ной 72 + 71 1-SPO 72-7i 2 Теперь покажите po =, go =, сегмент 71 ^ t ^ 72 B 72 + 7i 7i + 72 Сегмент-1 ^ S ^ 1, точка t = 0 — это точка S = So = = 1 / po> 1. Для такой замены рассматривается задача оптимизации Порядок всех полиномов Pk (S)
Также удовлетворяют условию нормализации Pk (X / po) -1 Такое max | s | ^ i | PE) | минимум. Известно, что такие полиномы являются полиномами Чебышева. Pk (S) = Tk (S) — [Tk (S0)] — 1, ме Tk cos (k arccosS1) Для \ S \ ^ 1 — [(S + VS2-l) k + (S- ^ S2-l) k] \ S > 1 max | s | ^ i \ Tk (S) \ = 1, поэтому 1 Min max \ Pk (t) \ = {} 7 ^ * ^ 7 ¦j} 71 ^^ 72 я & (оо) 1/2 / v / 72- Кроме того, = qk = — ^ где ^ = v 7fc (So) 1 + / op d / t ^ + Для расчета оптимального набора параметров Из равенства к Pk (t) = d (* -m ^ = ** r * j = l (5 = считается).
Выравнивать корни стоячих полиномов фильтрат Слева и справа от этого равенства. Полином Pk (т) Корень тидж = 1 / тдж (J = 1, 2, …, fc), многочлен Tk (S) равен Также Sj = cos ——— tr (j = 1, 2, …, fc), t =, 2 / с — = — (J = 1, 2, …, k; Sj определен выше) Из тдж Поэтому оптимальным значением параметра итерации является m7 = значение _ _. Где Sj = cos-, j = 1, 2. …. k. Итерационный процесс лучшего показанного набора Метр называется Чебышевский.
Следующая теорема достигнута. Теорема 6.4. Когда матрицы A и B симметричны и положительны Если определены и J \ B ^ A ^ 72 ^, чебышевская итерация Процесс сходится к ошибке Zk после выполнения итераций. Оценка справедлива W \ H * 1 + RG л / б + / Как условие, чтобы закончить процесс заранее Учитывая точность, требование || ^ || b ^ ^ || ^ o || b? Теорема 6.4 m0
Получите следующую оценку для числа итераций k: k ^ ko (r) = = ln (s / 2) / ln ^ i. Сравните эту оценку с выше Количество итераций простой итерации k ^ ko (r) = = Ins / lnpo, мы получаем, если есть значение? = 72/71 k (e) <\ nB / e) / 2y /? Сравнение этих оценок показывает преимущества. Метод Чебышева (значение = 72 / 7i) Малый). Метод Чебышева, который мы описали, известен с начала 50-х годов. Год. Также называется методом Ричардсона.
Обратите внимание, что этот метод был в идеале Числовой процесс с бесконечным количеством символов На компьютере вычисления выполняются с использованием конечного числа символов. Что такое бесконечность и число Ма машины Автобус ноль. Если это сообщение появляется в процессе расчета на компьютере
Если вы превысите Lo M, M ^, машина выйдет из строя (Abosuto). Значение для идеального вычислительного процесса Параметр итерации Tj можно произвольно переставить С \ пути). Любые две последовательности повторяющихся параметров {Tj} метров с точки зрения идеального процесса расчета Потому что требуемая для них точность достигается за один Повторите то же количество раз.
Однако при расчете с помощью компьютера Размер {tj} не эквивалентен. В некоторых последовательностях Чтение {tj} может вызвать аварийную остановку машины. Средний рост. Для других последовательностей: Чтение {tj} аварийной остановки машины не происходит, Немонотонный характер стремления к нулю при ошибке Z /, т. Е.
В связи с тем, что норма матрицы E-TjC переходит из (j-1) -го J-я итерация может быть больше 1, для этой ошибки Оценка, которую мы установили для идеальной ситуации, верна. В результате этих ситуаций теоретический Задача состоит в том, чтобы показать такой лучший закон порядка стоимости {tj}. Для метода Чебышева минимальный эффект Ошибка округления. Комплексное решение этой проблемы можно найти в книге. Самарская А. А. «Теория дифференциальной схемы» (М .: Наука, 1977, с. 572 и Подробнее).
Смотрите также:
| Метод верхней релаксации | Решение полной проблемы собственных значений методом вращений |
| Случай несимметричной матрицы A | Понятие билинейной формы |
