Исторические замечания о перестановке двух предельных операций

Исторические замечания о перестановке двух предельных операций

• Исторические замечания о перестановках двух маргинальных операций. Цель этого вывода состоит в том, чтобы сравнить—в историческом свете-с перестановками двух предельных операций все, что говорится в разных точках курса. Под «предельной операцией»

здесь мы имеем не только p R e d e l n s y p E R E x o n относительно любого из аргументов функции, но и U P s t a i n s m и P r e d E A m и P (родной или неродной метод), который в конечном итоге

сводится к этому В P°131 шла речь о равенстве двух повторяющихся пределов Людмила Фирмаль

it/(x, y)=NP1It/(x, y). (15) у — * Х- * а Х — +О — * Б Если такое равенство не достигается, оно устанавливается, и обеспечиваются определенные условия для обеспечения справедливости. [Was313]§4. Интеграл Эйлера 177 Положение вещей при 147°n относительно равенства двух смешанных производных Х г/(••>г)=^х г/(-^>г)'(16) Глава XVI

(«последовательность функций и ряды») была посвящена главным образом вопросу о рассматриваемом типе: П Е Р А тионная перестановка есть н и я б е С К О Н Н О Г О Р А-С, П наконец, то же самое можно сказать и об основном содержании этой главы; при определенных условиях она может быть перестроена последовательно с другими уже давно. Задолго до того, как

• упомянутая здесь операция была воспринята как»предел»(а этот процесс, как известно, был завершен лишь к началу XIX века), она фактически осуществлялась даже основоположниками анализа: Ньютоном, Лейбницем и поздними последователями его современников, а также, например, введением интеграла в качестве параметра. например, мы упомянем аргументы Эйлера и Клее, обосновывающие перестановки двух дифференцирований (1739). В истории математического анализа, можно сказать, что

перестановки двух предельных операций всегда были мощным средством получения многих общих описаний и отдельных математических фактов. Но-неправильно примененная, она была источником ошибок и парадоксов. Он был основан на анализе ошибок и стал общим достоянием в середине XIX века. Строгое обоснование обычных случаев при анализе таких перестановок было завершено лишь около конца века. Что касается простейшей задачи о перестановке двух предельных переходов, то она, естественно, первой достигла ясности. В одной из заметок Коши от 1815 года (опубликованной в 1827 году) о том, что равенства (15) может и не быть, поскольку на рубеже XVIII и XIX веков оказывается, что повторяющиеся ограничения иногда зависят от порядка маргинальных переходов.

Точно так же и коши, и Гаусс не смогли безоговорочно изменить порядок интегралов в итерационных интегралах, если функция частичной плотности подвергается Людмила Фирмаль

разрыву (например, она обращается в бесконечность), но отсюда еще не было ясно о перестановках двух маргинальных операций в целом. У нас уже была возможность упомянуть [p°281]неудачную попытку Коши даже k a z a! Есть описание непрерывности суммы последовательных функций и медленной консолидации такого ряда, первое из которых сразу опровергается Абелем, и здесь говорится, что в 1823 году Коши был столь же неточным доказательством безусловной применимости»правила Лейбница», касающегося дифференцирования интегралов по параметрам. в 1828 году Остроградский уже очистил 178ч. По интегральному параметру

XVIII[313] Он понимал, что-в случае обращения интегральной функции к бесконечности-дифференцирование под знаком интеграла может быть недопустимым. Позднее эту ситуацию отмечали и другие авторы. В руководстве по бесконечному анализу, даже до сороковых годов, часто встречались ошибочные утверждения, связанные с обсуждаемыми здесь вопросами. В то же время было приведено больше примеров, подчеркивающих необходимость уделения внимания этим вопросам. Еще один из тех Фурье обозначенных: ООО 81p А1 Отчет [p°293, Примечания]. Это очевидно ОО0 0 НТ™^л=0,а->+0а->+0I о С другой стороны, дифференцирование этого Интеграла по параметру Е, которое выполняется под знаком интеграла, приводит

к результату ОО Соз А1(11, Отчет ясно чувствовалось, что необходимо уточнить условия, при которых допустима перестановка предельной операции[283,6°]. Этому усовершенствованию способствовала концепция равномерной сходимости ряда[n°281] и введение в конце сороковых годов соответствующей концепции равномерной сходимости интеграла[n°301]. Но процесс введения соответствующей строгости в круг вопросов, которыми мы здесь

занимаемся, занял еще много десятилетий. Так, например, первое строгое обоснование Формулы (16) найдено у Шварца только в 1873 году. Еще в 1892 году бельгийская Академия наградила де ла Валле Пуссена) условия дифференцирования и интегрирования даны под знаком интеграла, распространенного на бесконечный интервал.* ) 1866) — математик современной Бельгии.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Эйлеров интеграл второго рода	Понятие неявной функции от одной переменной.
Простейшие свойства функции Г	Существование и свойства неявной функции