Оглавление:
Исследование систем с помощью непосредственного вычисления корней
- Исследование систем с использованием прямого расчета маршрута Одним из эффективных итерационных методов вычисления корней является метод Ньютона. Как и во всех итерационных методах, в случае сбоя машины могут быть получены самокорректирующиеся результаты, а информация может быть компактно размещена на устройствах хранения. Этот метод обычно используется для вычисления простого ядра. Рассмотрим формулировку этого метода на цифровом компьютере для расчета реальных и сложных корней. Предположим, вы хотите найти решение уравнения / (.) = 0, • (6,9) Где f (X) — реальная функция, которую можно непрерывно дифференцировать дважды.
Выберите точку в интервале и касательную к кривой y = f (X) в этой точке. Касательное уравнение = (6.YU) Если вы установите y в 0 и решите для (6.10) для X, вы получите X = X0— -NU / f ‘(U- Возьмем полученное здесь значение K в качестве точки, нарисуем в ней касательную, заменим кривую y = f (k) и снова решим уравнение, значение A.a ”, то есть Вы можете продолжить дальнейшие вычисления, используя итеративное выражение Kn + i = \ n-f (K) / f ‘(K). Это становится более точным при увеличении n и более точно приближает истинное значение маршрута.
Вы можете видеть, что в конкретном интервале [a, bI есть только один корень, и что производная f ‘(X) не имеет корней в этом интервале. Людмила Фирмаль
Как только Xn + 1 отличается от значения, меньшего, чем заданное значение точности e, можно предположить, что корень вычисляется с заданной точностью и что ошибка в абсолютном значении меньше, чем e. Процедура расчета Ньютона распространяется на сложные корни. Предположим, что аналитическая функция f (r) комплексной переменной z задана в заданной области W. Предположим, что производная f ‘(r)) Φ0 всюду в этой области. Укажите z0 e W и разверните функцию ряда Тейлора / (r) в окрестности этой точки, ограничив себя двумя членами в ряду (6,11) (6,12) (6,13) f (z) = f (z0) + r (z0) (z-zc) -bR (z). Игнорируя остаточный член R (z) и заменяя функцию f [z) на функцию f (z0) + f ‘(z0) (z-r0), передавая точное уравнение f (z) = 0 в приближении вы можете / (Zo) + / ‘( o) (Z — 20) = O
Решение этого уравнения для z и выражение полученного решения через ri дает zi z0-f (z0) / f ‘(z0). Вы можете продолжить этот процесс и каждый раз записывать повторяющуюся формулу с вновь полученной точкой zn в качестве центра декомпозиции. z ^ = zn-f (zn) lf ‘(жара) Если начальное приближение достаточно близко к целевому маршруту, последующие приближения сходятся к маршруту со скоростью второго порядка. Исследование, проведенное И. В. М. Есиповым на ЦВММ-20 в 1960 г., показало, что метод Ньютона дает надежные результаты для характеристических уравнений менее 20 цифр. При высоких порядках сложно реализовать процедуру вычисления корня на цифровом компьютере.
- Расчеты при ограниченной длине разгрузочной сетки машины приводят к накоплению ошибок и, как следствие, к неправильному выводу корня. Точность расчета сильно зависит от точности рассчитанных коэффициентов и определяется тем, что / ‘(r) близко к нулю. Только относительно небольшое изменение коэффициента уравнения, например 50-10-8, может привести к очень большому изменению значения корня (в данном случае только 0,03). В алгоритме Ньютона эта ситуация в некоторой степени игнорируется Накопление ошибок. Чтобы уменьшить ошибку, длина разгрузочной решетки машины может быть удвоена, и расчет может быть выполнен, но в этом случае производительность машины будет снижена.
Если указана структурная схема системы, передаточная функция каждого звена известна, а программа обеспечивает только умножение квадратичного полинома и уменьшение таких членов, то принципиально сложно вычислить коэффициенты характеристического полинома. Может быть выполнено очень точно.
Метод Ньютона может быть рекомендован для расчета всей совокупности, если коэффициенты полинома получены достаточно точно Людмила Фирмаль
Корень характеристического уравнения до n <20 так же надежен и экономичен. Механическое исследование ряда сложных автоматизированных систем с порядком n <20 подтвердило правильность вычислительной схемы Ньютона. Например, этот метод оказался особенно эффективным при построении стабильных границ областей с различной степенью устойчивости, поскольку он может быстро найти действительную часть корня, ближайшую к мнимой оси. В настоящее время итерационный метод, предложенный Мюллером в 1956 году, широко используется для решения алгебраических уравнений высшего порядка.
Суть этого в приближении квадратичной функции / (X). Также знание производной / ‘(X) не требуется. Принимает три произвольных значения независимых переменных X0, Xb> .2 и вычисляет соответствующее значение функции y0 = f (A0). Y \ -lJi- / (^ r) — Создает квадратичный интерполяционный полином с использованием найденных значений и находит их корни. Один из маршрутов, найденных близко к X2, используется для следующего приближения X3. Затем X4 строится таким же образом на основе трех значений Xb K, а затем процесс также повторяется. Сходимость процесса вычисления метода Мюллера всегда выше, чем у метода Ньютона с квадратичной скоростью сходимости, потому что он кубический, потому что он является полиномом более высокого порядка в окрестности корня.
Кроме того, этот метод не требует дополнительного вычисления производной / ‘(X). С помощью метода Мюллера вы можете найти корень материала, сложные, простые и множественные корни, которые включены в стандартное программное обеспечение многих типов домашних цифровых компьютеров. Существуют и другие способы вычисления корня характеристического уравнения. Их объяснение можно найти в соответствующей литературе по вычислительной математике.
Смотрите также:
Примеры решения задач по теории автоматического управления
