Оглавление:
Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка
- Инвариант второго общего уравнения гиперповерхности Роговой порядок. Вызвать инвариант общей формулы G.62 (или G.66)) Квадратичная гиперповерхность для параллелизма Преобразование переносов и ортогональное в ортогональное Такие функции / (ots, ai2, …, ann, & i, 62, …, bn, c).
- Это уравнение, его значение не изменяется заранее Формирование пространства. Давайте докажем это утверждение: Теорема 7.11. Инвариант общей формулы G.62) (или G.66)) Квадратичная гиперповерхность является коэффициентом Вы — характеристический многочлен матрицы A в квадратичной форме A (x, x) и определитель det B матрицы B в отношении G.67.
В частности, det A и trace + ^ 22 + ••• являются инвариантами. ••• + ypp матрица А. Людмила Фирмаль
Доказательство. Очевидно, что Доказывается отдельно для условия количественной теоремы, параллельно Преобразовать ортонормированную основу в или Он был принят. Сначала рассмотрим параллельную передачу. В пункте 3 этого пункта С этим преобразованием группа старших членов Сохраняет свой внешний вид (см. Уравнение G.79).
Поэтому матрица Поэтому характеристический полином этой матрицы. Давайте докажем неизменность дет Б. G.68) (или G.69)) параллельный перенос, матричное преобразование В матрице B » ее определитель следует G.82, a1n b [ дет B ‘= «О приложении p1 ••• B [… b’p Г. 89) Здесь величины b’k и c ‘определяются уравнениями G.84) и G.85).
Вычесть элемент из последней (n + 1)-й строки Для G.89 умножьте элемент в первой строке на xi, затем элемент о вторая строка умножается на x <± и т. д., и, наконец, n-й элемент Умножьте ки на лс. Используя G.84) и G.85), определитель не изменяется при таком преобразовании, так что И … a1n b [ дет B ‘= a> ni кипа G.90)
Вычесть из последнего (n + 1)-го элемента столбца G.90) Умножьте элементы в первом столбце на xi, затем Умножьте полицейских во втором ряду на Ж2 и т. Д., И, наконец, элементы время n-го столбца xn. С таким преобразованием Поскольку определитель не изменяется, используя соотношение ctjk-ctkj, Исходя из симметрии формы A (x, y) и формулы G.84), Получить дет Б.
- В результате получается уравнение det B ‘= доказательство det B. Таким образом, detВ является неизменным параллельно. Переносы. Теперь рассмотрим ортонормированные базисные преобразования Ортонормированный. Во-первых, характеристический коэффициент Полином квадратичной формы матрицы A инвариантен ми конверсия находится на рассмотрении.
В предыдущем абзаце В ортонормированном базисе матрица A изменяется как матрица Линейный оператор. Но в этом случае: Замечания 1 Подраздел 3 § 2 глава. 5, коэффициент характеристики мульти В частности, определитель det A и матрица следа ac + ^ 22 + … + app А, как коэффициент характеристического полинома Инвариантная.
Переход на другую базу не меняет условий этой матрицы. Людмила Фирмаль
Остается доказать инвариантность детерминанта детпри Преобразование из ортонормированного базиса в ортонормированный базис. Перейдите к этому доказательству. Примените следующие уловки: Введем обозначение bk = Q> k, n + i. Тогда k = 1, 2, …, n, c = an + i, n + i-Уравнение G.66) является гиперповерхностью.
Новость может быть написана следующим образом: n + 1 ^ 2 ajkxjXk = 0, г. 91) j, k = l Где xn + 1 = 1 Рассмотрим преобразование переменных xi, x2, …, xn, xn + 1 Переменные x [, x2, …, x’n, x’n +1. Первые n переменных предварительно Сформированная по уравнению G.75) переменная xn + 1 преобразуется следующим образом: Выражение xn + 1 = x’n + 1.
Очевидно, что преобразование этой переменной может быть принято во внимание Поскольку преобразование координат во время преобразования нормализовано ei, b2, …, en, en + i (n + 1) базисмерного евклидова пространства б, и форма этой матрицы преобразования P Пн … Пни 0 \ «О» G’92) RPP и … около 1) Легко видеть, что матрица P удовлетворяет условию P ‘= P ~ r. Поэтому они ортогональны.
Но согласно пункту 2 этого пункта, Граф, ортонормированный базис ei, b2, …, en, en + i, Используйте матрицу P с ортонормированным базисом. Найдено выше Такое преобразование квадратичной матрицы B невозможно. Детерминант det Эта матрица неизменна. Te Орем доказан. Замечания. Из аргумента доказательства теоремы Инвариант общего квадратного уравнения гиперповерхности Ка также A и B, который звонил.
Смотрите также:
