Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов

Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов

Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов. Теорема 6.Определите функцию f (x), x =(xx xn) Точка x (0)=(x) 01,…окрестности x’N)и функции x * = x、（0、= =））、1 = 1、2、…определено в, n, some Близость точек^° ’-（{、101、…, 4°’) и пусть x; 0,= x、-（40））、* = 1,2、…,». Тогда функция ((x) дифференцируема в точке x / 0,а функция x,= x, ((), r = 1, 2,…комплексная функция/ (x(0)= /(xx (0,…, xn ( / )) определяется в окрестности 1 (0) и дифференцируется в этой точке. Далее производная функции/(x ( / )) g в какой-то момент может быть записана в 2-х формах: Доказательство. Функция xx（/）、/ = 1、2、…комплексная функция [(x ( / )) определяется в определенной окрестности точки C°, где n определяется в определенной окрестности точки C°, а (см. объяснение теоремы 2 в§ 19.4).

Дифференцируемость функции означает непрерывность, поэтому комплексная функция определяется в определенной окрестности точки (0). Людмила Фирмаль

• Функция f (x) это точка x(0), функция x *(4,I = 1, 2,…измените любые 2 числа [8 0 и m] 0, как определено Троицей n, N. B окрестности точек^ 0) и (xx(7),… …,xn(0) eП (x (0)\ m]) для ^ e (/(/10); b).в окрестности b /(40; b) определена комплексная функция f (x (4)).Возможность выбора такого количества битов (очевидно, что b зависит от выбора μ) была показана в разделе 19.4.Точка X(0）; Так что/•=] / 2 AX) для Р] где = e(Dxl …Axn) ηη = 0.Р(0,…, 0)= =0.Функция e, определенная до сих пор, является точкой (0,…0) является непрерывным. Из-за Дифференцируемости функции x = l.-（/）、/ = 1、2、…н.、 На 4° Получить его. Если присвоить значение Ax от-(20.30) до (20.29)、 (20.31) если вы сортируете общий порядок、 Здесь нам нужно показать p = o (p) как p-> 0, чтобы доказать, что комплексная функция f (x (f)) дифференцируема в точке P0’.Функция x、-（0、1 = 1、2、…, точка 00 в n) из-за непрерывности, FmDx / = 0, и поэтому Mm = 0.И так оно и есть.、 Суперпозицией теоремы о непрерывной функции (см.§ 19.2） Докажем, что отношение r / p ограничено.

Используя формулу (20.30), вы получаете из гаα, так как-= 0, окрестности точки так как ε (ограничено,|Д/,| / p ^ 1), то функция r / p ограничена в окрестности point. So, из (20.34) и (20.35) Pm (P / p)= 0, т. е. P = o (p) как p-0 Исчисление сложных функций!{X (1)) доказывается точкой/(0). Из Формулы (20.31)、 Получаем выражение (20.28).Формула (20.27) является обычной формулой для производной (см. (20.21)). Тс Формально записи для разности функций (20.27) и (20.28) выглядят следующим образом: same. In в обоих выражениях производная равна сумме произведений частной производной на соответствующую производную, но в случае выражения (20.27), 11 /является производной от независимой переменной, а в случае выражения (20.28) (1×1-производная функции.

• Это свойство называется инвариантностью формы первой производной от выбора переменных. Примечания: 1.Из Формулы (20.33). Но сравните эту форму, поскольку коэффициент дифференцирования функции с производной независимой переменной определяется однозначно и равен соответствующей частной производной То есть опять формула (20.26).Правда, это время угадывалось под более сильным пределом, чем раньше. На этот раз функция x{（（）、1 = 1、2、…хотя Дифференцируемость дифференци была принята, в § 20.3 существуют только частные производные, соответствующие этим функциям. Примечания 2.Функция f (x1,…X) и x,=χ^ (^),==…4) Д* *、1 = 1、2、…если n имеет постоянный коэффициент Точка (X) 0′,…, x0′) eK «и точка/; o) производная при e) x) 0,= x, (0<sup class=»reg»>®</sup>))).

Эти функции, согласно теореме 3.20.2 (см. Также последнее замечание в подразделе 20.2 в общем случае), удовлетворяют условиям теоремы 6, поскольку она дифференцируема в указанных точках. (комментарии перед ссылкой). Инвариантность в виде производной первого порядка широко используется при фактическом расчете производных и частных производных. если u и ть являются функциями определенного числа переменных, то с помощью выражения (20.28) можно легко получить следующее: Например, докажем Формулу 3.пусть r-u / o, а u = ^ u (xi …, хп), в = в (Х1,…и хп). ^〜И.

Следовательно, утверждение этой теоремы и полученная формула для вычисления частных производных комплексной функции справедливы. Людмила Фирмаль

• При расчете специфического дифференцирования функций многих переменных можно широко использовать полученную выше формулу (см.§ 9) для дифференцирования основных функций. По этому поводу следует отметить следующее: функция y-y(x1,…XN) в виде y = P (u).Где u = u (x1,…Не обязательно. Затем, при соответствующих допущениях, по формуле (20.28)、 Например, для y = 8sh, для YY = soziyi; для y = 1зи, для гг = ^; для y =ags1§U, для ю = ю м-д-（ В качестве примера найдем производную функции r-agc!§*Расчеты выполняются в следующем порядке: Если вам нужно вычитание.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Дифференцируемость функций в точке.	Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.
Дифференцирование сложной функции.	Градиент функции.