Интегрируемость кусочно-непрерывных функций

Интегрируемость кусочно-непрерывных функций

Интегрируемость кусочно-непрерывных функций. Здесь мы обобщаем теорему 3 предыдущего раздела об интегрируемости непрерывных функций так называемыми кусочно-непрерывными функциями. | П (Xr_1-ОО)= ТМ /(х) и Х-Х ^ + О }(Х {-0)= УМ/（*）、1 = 1、2…к. ✓ * ГУ! И затем(рис.108). Лемма 1.Определите функции/и φ с интервалом[a, 6], а} (x)-η (x) с интервалом (a, b’).Тогда, если функция / интегрируется с[a, b], то функция φ интегрируется с\ a, b、 Диаграмма 108 О б ^ СР(х) ух =§/(х) ух. Но… Но… Определение 1.Функция, определяемая интервалом[a, b]/, является делением этого интервала m = {l. если/} r = o присутствует и функция / непрерывна на каждом интервале (lu lu), то она называется кусочно-непрерывной. Y имеет конечный предел.

Это означает, что изменение значения функции на обоих концах сегмента не влияет на интегрируемость функции, ни на значение интеграла, если функция интегрируема. Людмила Фирмаль

• Конечно, подобное утверждение,§ 28.Свойства интегрируемой функции 464. Допустимо при изменении значения функции в любом конечном числе точек. Доказательство леммы. Функция/ограничена, потому что она интегрируема. | /(х)| = ^ м для всех хе [А, B]. Пусть M0 = {M, φ (α), φ (&)}.Принимая во внимание разбиение m ={x.} 1 = o части интервала[a, b\, и образует Интеграл Римана σ ()) и am (φ), те же точки c,-e [x,^, x.}. как обычно, Dx, = x, x, l 1 = 1, 2,…предположим, к Я /(У Д * 11 M06t, я /(1к) средство(UIobg、 |φ (AA ^ 1 / 1010bt и / Φ (ДDxA | M0bx, тогда Hm /(Y Dx1 = Fm /(Y) DxA = FmΦ (Y Dxx = Pm f (Y DxA = 0. БТ ^ о Так… к-1 Тмакс(Φ)= ^ м ^（ \ о=БТ ^ А2 = 2 =Золото 2 /(Y Ax * =золото 2 /(Y Ax * = $ / Y б, б.

• В результате Интеграл ц (x) хх присутствует и равен 0 Но. Упражнение 1.Докажите, что изменение значения функции в конечном числе точек не влияет на интегрируемость или интегральное значение функции (если таковое имеется). Теорема 2.Функция/, которая кусочно непрерывна на интервале[a, b], может быть интегрирована на нем. Доказательство. Пусть функция / кусочно непрерывна на интервале[a, b \и m = {x, -}, где[-= o-разбиение, указанное в определении 1. Х1-1 С / в Х1 ХВ(х） L (x）= | / * * «-1 + 0）если X = X’ 1 !{Xc-0), если X = X. Для каждого сегмента[x, _x, x;] функция отличается от непрерывной функции, возможно, только в конце этого сегмента. Таким образом, Лемма позволяет функции / интегрироваться с[XI-1, X.] и. 28.4.

Короче говоря, если на отрезке имеется только конечное число разрывов плюс только 1-й, то функция кусочно непрерывна на отрезке. Людмила Фирмаль

• Интегральное неравенство Гельдера и Минковского Четыреста шестьдесят пять Применяя интегральную характеристику 3°, функция/может быть интегрирована в интервал[a, b、 $ / (*М * = 2?B (x) c1x.□(28.41） XI 1 VI Замечание. Доказано более общее достаточное условие интегрируемости VP 44.5 (см. теорему 44.5 в§ 10 и 44.7 в§ 2). в частности, все функции, окруженные последовательными отрезками, за исключением конечного числа точек, интегрируемы. 。Таким образом, условие, что функция/имеет только точку разрыва типа 1 с конечным числом, не требуется в теореме 2.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Свойства определенного интеграла.	Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского.
Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла.	Непрерывность интеграла по верхнему пределу.