Оглавление:
Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
Задача нахождения общего решения ЛОДУ 
-го порядка 
с постоянными коэффициентами
где 
— числа, решается аналогично случаю уравнения вторит порядка с постоянными коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.
Частные решения уравнения (50.6) также ищем в виде 
, где 
— постоянное число.
Характеристическим для уравнения (50.6) является алгебраическое уравнение -го порядка вида
Уравнение (50.7) имеет, как известно, корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через 
.
Замечание. Не все из корней уравнения (50.7) обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение 
имеет два равных корня: 
. В этом случае говорят, что корень один 
и имеет кратность 
. Если кратность корня равна единице: 
, его называют простым.
Случай 1. Все корни уравнения (50.7) действительны и просты (различны). Тогда функции 
являются частными решениями уравнения (50.6) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (50.6) записывается в виде
Пример №50.3.
Найти общее решение уравнения
Решение:
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Следовательно, 
— общее решение данного уравнения.
Случай 2. Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность 
). Тогда каждому простому корню к соответствует одно частное решение вида 
, а каждому корню к кратности соответствует 
частных решений: 
.
Пример №50.4.
Решить уравнение 
.
Решение:
Характеристическое уравнение
имеет корни 
. Следовательно,
— общее решение уравнения.
Случай 3. Среди корней уравнения (50.7) есть комплексно-сопряженные корни. Тогда каждой паре 
простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения 
и 
, а каждой паре корней кратности соответствуют 
частных решений вида
Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.
Пример №50.5.
Решить уравнение 
.
Решение:
Характеристическое уравнение
имеет корни 
. Следовательно,
— общее решение уравнения.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
