Оглавление:
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
. Если существует конечный предел 
, то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают 
.
Таким образом, по определению
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке 
:
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой
где 
— произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция 
на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 171).
Пример №40.1.
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 
Решение:
интеграл сходится;
интеграл расходится, так как при 
предел 
не существует.
, интеграл расходится.
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке непрерывные функции и 
удовлетворяют условию 
, то из сходимости интеграла 
следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Дополнительные примеры:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Основные свойства определенного интеграла |
| Вычисления определенного интеграла |
| Интеграл от разрывной функции |
| Схемы применения определенного интеграла |
