Оглавление:
Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и имеет бесконечный разрыв при 
. Если существует конечный предел 
, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают 
.
Таким образом, по определению,
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке 
, то полагают
Если функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка 
, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
В случае, когда 
, несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке ) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172).
Пример №40.4.
Вычислить 
.
Решение:
При 
функция 
терпит бесконечный разрыв;
интеграл расходится.
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второй) рода.
Теорема 40.3. Пусть на промежутке функции и 
непрерывны, при терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 
сходимости интеграла 
вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла .
Теорема 40.4. Пусть функции и непрерывны на промежутке и в точке терпят разрыв. Если существует предел 
, то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Дополнительный Пример №40.5.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Вычисления определенного интеграла |
| Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования |
| Схемы применения определенного интеграла |
| Вычисление площадей плоских фигур |
