Оглавление:
Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Теорема 75.2. Пусть функция 
аналитична в замкнутой односвязной области 
и 
— граница области 
. Тогда имеет место формула
где 
— любая точка внутри области , а интегрирование по контуру производится в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки).
Интеграл, находящийся в правой части равенства (75.5), называется интегралом Коши, а сама эта формула называется интегральной формулой, Коши.
Формула Коши (75.5) является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Она позволяет находить значения аналитической функции в любой точке 
, лежащей внутри области через ее значения на границе этой области.
Построим окружность 
с центром в точке , взяв радиус 
столь малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области (чтобы не пересекала ).
Получим двусвязную область 
(заштрихованную на рис. 293), ограниченную контурами и , в которой функция 
аналитична.
Тогда, согласно замечанию к теореме Коши (с. 545), имеем:
Отсюда следует:
Но 
(см. пример 75.2). Следовательно,
т.е.
Оценим разность в левой части равенства (75.6). Так как аналитическая функция непрерывна в точке , то для любого числа 
найдется число 
такое, что при 
(на окружности имеем 
) справедливо неравенство 
.
Применяя свойство 6 об оценке модуля интеграла (п. 75.1), имеем:
Так как 
может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть последнего неравенства не зависит от , то она равна нулю:
откуда следует формула (75.5).
Отметим, что интегральная формула Коши (75.5) справедлива и для многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы область оставалась слева.
Применяя интегральную формулу Коши, можно доказать следующие теоремы-следствия.
Теорема 75.3. Для всякой дифференцируемой в точке функции существуют производные всех порядков, причем 
-я производная имеет вид:
Теорема 75.4. В окрестности каждой точки , где существует производная 
, функция может быть представлена сходящимся рядом:
Таким образом, производная аналитической функции также является аналитической функцией.
Напомним, что из дифференцируемости действительной функции не следует даже существования второй производной (функция 
имеет производную в точке 
, а производная этой функции 
при не существует).
Ряд (75.8) называется рядом Тейлора функции в точке .
Ряд Тейлора дифференцируемой в точке функции существует и сходится к самой функции. Ряд же Тейлора для действительной функции 
может сходиться к другой функции или быть расходящимся.
Замечание. Формула -й производной функции может быть получена из формулы Коши
(в формуле (75.5) заменено 
на 
, на ) путем последовательного дифференцирования равенства (75.9) по :
Формулы (75.5) и (75.7) можно использовать для вычисления интегралов по замкнутым контурам.
Пример №75.3.
Вычислить 
, где а) — окружность
, б) — окружность 
.
Решение:
а) функция 
является аналитической в области 
. В силу теоремы Коши имеем 
.
б) На рисунке 294 представлена область,
ограниченная контуром интегрирования.
В этой области 
находится точка 
, в которой знаменатель подынтегральной функции равен нулю. Перепишем интеграл в виде
Функция 
является аналитической в данной области. Применяя интегральную формулу Коши (75.5), находим:
Пример №75.4.
Вычислить 
.
Решение:
Внутри круга и на его границе функция 
аналитична. Поэтому, в силу формулы (75.7), имеем
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Интегрирование функции комплексного переменного |
| Интегральная теорема Коши |
| Нули аналитической функции |
| Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции |
