Оглавление:
Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование по области.
- Интегрирование как аддитивная функция предметной области. Рассмотрим (замкнутую) плоскую область (P) и часть (замкнутую) области (p), которую она содержит. Мы предполагаем, что все области являются Dr и R u e m S m (в некоторых обстоятельствах они могут
подлежать другим ограничениям). Если каждая часть области (P) (p) сопоставлена с определенным числом F=f ((p)), это » функция домена(/? Для указанного(Р)». Примерами функций такой области являются: площадь области, непрерывно распределенная
по ней масса, статический момент этой массы, непрерывно распределенная Людмила Фирмаль
нагрузка или, в общем случае, сила, действующая на нее. Если площадь (Р) любого разложения друг под другом на неперекрывающиеся части (Р)=(? ‘) +(?) ‘») Всегда получается, что f (^))=f ((R’))+f t),то из функции f((R))область называется d i t и b n o y. все функции, приведенные в качестве примеров выше, находятся в этих 246 главе XXI. имеет двойной Интеграл[342 Аддитивные свойства.
Дополнительная функция предметной области особенно важна, так как она часто встречается при изучении природных явлений. Пусть интегральная функция точки/(D4)= / (x,_u)задана в квадратичной области (P); она становится интегрируемой в любой квадратичной части(/? Область, так что интеграл f ((p))=N l*. (10) SR) существует также функция из области (p). С точки зрения N°341,2°, это, очевидно,
- будет функция сложения. Теперь обратимся к «дифференциальной функции f ((p)) по площади». Этот пункт является субрегионом. Предельные пределы отношений Ф ((Р)) П’ Здесь p-площадь области (p), имеет тенденцию к нулю диаметр области (p), p r o и z V o d n o y от f n c i f (O9))) p o o O b l C), например, непрерывная плоская диаграмма(/?), Это ограничение есть не что иное, как массовое распределение n l o t n O s t t в точке/и в случае f((/?)) Означает силу, действующую на фигуру(/?(А) —Л Е Н О Е Д а в Л Е Н И Е у м, и так
далее. Особый интерес для нас представляет то, что функция из области представлена интегралом вида (10), а/(x, y) является функцией области(P). Производная по области в точке M от интеграла указывает, что вычисленная в этой точке субинтегральная функция равна/(W)=/(x, y). Действительно, возьмите область(/?Где (x, y) — некоторая точка области (/?да что с тобой такое? Если диаметр области (p) стремится к нулю, то точка (x, y) бесконечно близка к (x, y) и существует непрерывность, — «у— = = Ж У),
То, что мы хотели доказать.343]§2. Вычисление двойного интеграла 247 Z amazonee в Людмила Фирмаль
приведенном выше примере необходимо было объяснить функцию сложения из интервала[n°204]. Такая функция всегда является разницей между двумя значениями функции с определенной точкой, поэтому в случае»линейной»не было необходимости развивать такую теорию, как в случае «плоской». Однако в теореме о дифференцировании некоторых интегралов для переменного верхнего предела [n°183, 12°] читатель может просто обратиться к аналогу теоремы о производной двойного интеграла для доказанной области.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
