Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье

Оглавление:

Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье

Интеграл Фурье как предел ряда Фурье. Нам не хватает строгости, но соображения, которые привели Фурье к его интегральной формуле*, хотят существенно воспроизвести здесь то, что отличается их

прозрачностью). *)Эта формула была получена Коши, независимо от преобразования Фурье. Если функция/(x) задана в конечном интервале [—/,/], то при определенных условиях,

не интересующих нас, она может быть представлена в тригонометрическом ряду в этом Людмила Фирмаль

интервале: ООО /*)(=U в+U и Т Т=\ ТОНН В ЧАС.,, ТОНН В ЧАС Соз—+&t81P — , Куда? Я 1С х\т п я^т=-1/( » ) SO8-б?Ньютон, — / (Ш=0,1,2,…) , 1С ч * t1sh=/(«)-Йи. (TP=1, 2,…400ЧАП. XXIV. ряд Фурье[408 [см. п°404]. Подставляя формулу вместо коэффициентов At и BT, можно переписать ряд в следующем виде Я ОО Я ГП-(я-х)ли.(1) Определим функцию/(x) со всем бесконечным интервалом (—OO,+OO). В этом

случае, каким бы ни был x, соответствующее значение/(x) представляется разложением (1) p R и l y b o m I>|x|. Перейдите здесь к пределу / —>4″°»и попытайтесь установить» предельную форму » этого разложения. Для первого члена в правой части равенства(1) естественно предположить, что он стремится к нулю*). Если вы

посмотрите на бесконечный ряд *) Это становится очевидным, например, если мы предположим, что inte- В е Gral / (и)Di сходимость* Процесс. Удельная переменная 2 непрерывно изменяется от zo=O до+OO. Очевидно, что в/—в этих обозначениях наша серия переписывается следующим образом: ООО Т=1 Я — Я. .. Это похоже на интегральную сумму функций 4-0-0. / (I) Сов2 (I—x)Li — ох. От g в

интервале[0,4~OO]. Если вы перейдете к пределу I — >4-OO, вы получите Интеграл вместо ряда.: ОО4-0 0409]§3. Интеграл Фурье 401 Это выражение может быть выражено путем выявления выражения Косинуса разности ООО /(х)=[А (х)popx4-B (х) 81p ХХ]с/х,о Куда? — 00-ОО Только параметр t через ряд натуральных значений заменяется непрерывно изменяющимся параметром 2,

а бесконечный ряд заменяется интегралом. Коэффициенты a (x) и B (x) также Людмила Фирмаль

напоминают коэффициенты Фурье по своей структуре. Конечно, все эти соображения просто высказываются; фактические условия эффективности выражения Фурье все еще подтверждаются. Но и при проведении строгого умозаключения следуют основные этапы рассуждений, связанные с рядами Фурье.

Объем m-мерного тела и m-кратный интеграл	Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье
Периодические величины и гармонический анализ	Ортогональные системы функций