Группа ортогональных преобразований

Группа ортогональных преобразований

• Группа ортогональных преобразований. Группа GL (n) Так называемые ортогональные специальные подгруппы Конверсия. Эти преобразования рассматриваются отдельно Настройте для формирования групп, называемых ортогональными группами. Вводит понятие ортогонального преобразования.

• Невырожденный линейный пред Образование. Концепция такого преобразования эквивалентна Невырожденный оператор, то есть оператор A дет А / 0. Глава Напомним, что было введено в 9. 5 Концепция ортогональных операций Радиатор V, который работает в реальном евклидовом пространстве. Отношения между х и у в у (Px, Py) = (x, y). (9,13)

Другими словами, линейный оператор P называется ортогональным. Людмила Фирмаль

Результат действия ортогонального оператора P называется Ортогональное преобразование R Теорема 5.36 доказывает, что оператор Р ортогональн Только если есть обратный оператор P ~ 1 И равенство имеет место P-1 = P *. (9,14) В этом уравнении P * является оператором, смежным с P. Следовательно, если преобразование P ортогонально.

Это преобразование является обратной величиной P ~ 1. Все ортогональные преобразования невырождены. день Важно, потому что PP ~ 1 = I. Где я это преобразование личности тогда дет П-дет П = дет 1 = 1 То есть det P / 0. Следовательно, ортогональное преобразование P не является Я родился Обратите внимание на следующие важные характеристики ортогонального преобразования коленный.

Теорема 9.9. множество всех ортогональных преобразований ев Клин пространства V нормальным линейным умножением Преобразование образует группу под названием ортогональная группа Обозначается символом O (n). Доказательство. Достаточно доказать продукт Диагональное преобразование является ортогональным предварительным преобразованием Образование.

• Существование обратного преобразования (обратного Ортогональное преобразование, данное в (элемент) Руда 5.36 (см. Также замечания выше). Следовательно, Pi и P2 являются ортогональными преобразованиями. рассматривать Продукт P1P2. В теореме 5.36 достаточно доказать это. соотношение (P1P2) (P1P2) * = I. (9.15) Глава 1§5 и 5 присоединенного оператора (см. Свойство 5 °).

Они используют (P1P2) * = P ^ P * — это соотношение Конвертировать Pi и P2 (PiP2) (PiP2) * = (PiP2) (P; P *) = = Pi (P2P;) P * = PilPt = PiPJ = I Таким образом, соотношение (9.15) доказано. Теорема доказана. Замечания 1. Очевидно, что ортогональные группы являются GL группа (n). Замечание 2: определитель det P, значение ортогональное.

Преобразование P удовлетворяет соотношению (Det PJ = 1. (9.16) Людмила Фирмаль

Вот так дет P = ± 1. (9,17) Чтобы доказать (9.16), преобразуйте против матрицы Р PP ‘= /, (9,18) Где P ‘- транспонированная матрица, полученная из P перестановкой. Ряды и столбцы. / Это тождественная матрица. det P = det P ‘(при сортировке строк и столбцов, Делитель не изменяется) и если det / = 1, соотношение (9.18).

Его (det PJ = 1, т.е. det P = = L. По определению det P Если ввести в качестве определителя матрицы P с произвольным базисом, соотношение Доказательство (9.16) и (9.17) доказано. Соотношение определителей ортогонального преобразования (9.17) Теория служит основой для разделения такой трансформации на все Два класса.

Первый класс принимает все ортогональные преобразования. дет P = +1. Эти преобразования в дальнейшем Зови себя. Второй класс назначает все ортогональные преобразования. Его дет P = -1. Такое преобразование называется несоответствием Реальная вещь. Набор всех подходящих ортогональных преобразований Развивайте группу, называемую исходной ортогональной группой. Это Группы обозначены символом 50 (р). Мы можем доказать, что каждая группа 50 (n) компактна.

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Группа линейных преобразований	Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы
Сходимость элементов в группе GL(n). Подгруппы группы GL(n)	Группа Лоренца