Оглавление:
Графический подход (метод координат)
При решении уравнения (неравенства) при помощи графического подхода в одной системе координат строятся графики функций, расположенных в левой и правой частях уравнения (неравенства). Затем ищутся точки пересечения этих графиков, после чего на оси абсцисс находится решение. В других случаях на плоскости 
изображается геометрическое место точек, координаты которых 
удовлетворяют заданным в задаче условиям, и это помогает в дальнейшем сделать решение задачи более наглядным и простым.
Возможные трудности связаны с необходимостью быстро и правильно строить графики функций с модулями, а также изображать фигуры на координатной плоскости в случае, когда уравнение или неравенство, их задающие, содержат модули. Необходимо при этом иметь навыки использования основных преобразований функций таких, как сдвиг графика вдоль координатных осей, его растяжение или, наоборот, сжатие, осевая и центральная симметрия. Надо уметь строить графические образы решений систем и совокупностей уравнений и неравенств, содержащих модули, раскрывая эти модули при помощи метода интервалов или, соответственно, метода областей и находя пересечение или объединение полученных в результате фигур. В качестве одной из иллюстраций данного подхода можно рассмотреть предыдущий пример.
Рассмотрим ещё несколько типичных примеров.
Пример №325.
При каких значениях параметра а уравнение 
не имеет корней?
Решение:
Построим в одной системе координат графики функций 
(это семейство «уголков» с вершиной, «плавающей» вправо-влево в зависимости от значения 
вдоль оси абсцисс) и прямая 
. Очевидно, графики этих функций не пересекаются (уравнение не имеет корней) при 
.
Пример №326.
Построить график функции
Решение:
В данном случае проще всего преобразовать функцию к виду
и построить параболу 
На участке между нулями этой функции 
и 
отобразим график вверх симметрично оси абсцисс. В результате получим искомый график функции. Он симметричен относительно прямой.
Пример №327.
Построить график функции
Решение:
Преобразуем данную функцию: 
Пусть 
тогда исходную функцию можно представить в виде 
Для построения её графика достаточно вначале построить в области
график функции 
а затем отобразить эту кривую симметрично оси 
в область 
. Объединяя обе ветви кривых, получаем искомый график.
Пример №328.
Построить график функции
Решение:
Найдём область определения функции: 
. Теперь упростим функцию на её области определения. 
Графиком исходной функции будет та часть параболы (с вершиной в точке 
ветви направлены вниз), которая попадает в левую полуплоскость 
.
Пример №329.
Найти наименьшее значение функции
Решение:
Построим график функции методом интервалов.
График состоит из трёх ветвей, объединённых в одну непрерывную кривую. По графику определяем, что
Пример №330.
Построить график функции 
Решение:
Построим график при помощи двух преобразований: параллельного переноса вдоль оси 
вниз на 
и графического «взятия» модуля. Для этого последовательно построим графики функций: и т.д. Эскиз искомого графика изображён на рисунке.
Пример №331.
Решить систему уравнений
Решение:
Один из наиболее наглядных и быстрых способов решить данную систему уравнений — графический. Для этого достаточно изобразить в одной системе координат 
графики первого и второго уравнений системы. Тогда количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству решений системы, а координаты этих точек будут решениями системы.
Чтобы построить графический образ первого уравнения, перепишем его в виде
т.е. первое уравнение задаёт на плоскости две параллельные прямые.
Чтобы построить график второго уравнения, заметим предварительно, что поскольку при замене 
на 
, а 
на 
это уравнение на меняет своего вида, то фигура на плоскости, задаваемая этим уравнением, должна быть
симметрична сама себе относительно обеих координатных осей. Поэтому достаточно построить, например в 1-й четверти, часть графика, а затем симметрично отобразить её относительно прямых 
и 
. В 1-й четверти 
, поэтому модули раскрываются со знаком «плюс», и уравнение приобретает вид 
. Таким образом, в 1-й четверти второе уравнение задает часть прямой , в неё попадающую.
Симметричным образом достраивая фигуру на всей координатной плоскости, обнаруживаем, что графики первого и второго уравнений не имеют общих точек. Это означает, что система не имеет решений.
Замечание. Можно было воспользоваться для решения одним из известных свойств модуля, а именно, что 
при всех действительных и . В рассматриваемой системе, наоборот,
То есть условия системы вступают в противоречие с указанным свойством модулей, что также доказывает отсутствие решений у системы.
Пример №332.
При каких значениях параметра а модуль разности корней уравнения 
принимает наибольшее значение?
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
Введём на плоскости прямоугольную систему координат, на оси абсцисс будем откладывать значения переменной , а на оси ординат — значения параметра 
.
В этой системе координат уравнение задаёт окружность единичного радиуса с центром в точке (3;2). По рисунку видно, что модуль разности корней уравнения достигает наибольшего значения при 
Пример №333.
При каких значениях параметра 
уравнение 
имеет единственное решение ?
Решение:
1-й способ. Поделим уравнение на 2:
и обозначим выражение 
через , а функцию в левой части последнего уравнения — через 
. Методом интервалов строим график функции
По условию задачи требуется найти все значения параметра , при которых уравнение
имеет единственное решение, т.е. графики функций 
и 
пересекаются в одной точке.
На рисунке график функции в виде ломаной линии выделен полужирной линией, графики
линейных функций имеют вид пучка прямых линий (кроме прямой ), проходящих через точку 
. Очевидно, что прямая вида имеет единственную общую точку с ломаной линией лишь в следующих случаях.
1) Прямая проходит через точку 
. Подставляя в уравнение прямой координаты этой точки, находим соответствующее значение параметра 
2) Прямая проходит через точку 
. Подставляя в уравнение прямой координаты этой точки, находим отвечающее ему значение параметра 
3) Прямая проходит параллельно левой ветви ломаной, т.е. совпадает с прямой 
(её уравнение 
), или имеет более вертикальное положение. Несложно вычислить, что указанным положениям прямой соответствуют угловые коэффициенты 
4) Наконец, прямая может проходить параллельно правой ветви ломаной, т.е. совпадать с прямой 
(её уравнение 
), или иметь более вертикальное положение. В этом случае получаем для угловых коэффициентов следующий диапазон изменения:
Объединяя полученные значения , приходим к ответу.
Ответ: 
2-й способ. Воспользуемся методом интервалов.
1) 
: уравнение принимает вид 
; если 
, то получаем единственное решение
Итак, при 
имеем решение 
2) 
: уравнение принимает вид 
; если 
, то получаем решение 
Итак, при 
имеем решение 
3) 
: уравнение принимает вид 
; если 
, то получаем решение 
Итак, при 
имеем решение
Объединяя полученные результаты, получим тот же ответ.
Пример №334.
Решить систему уравнений
Решение:
Сведём систему к равносильной системе
и сделаем замену переменных: 
. Тогда получим
Неравенство последней системы описывает на координатной плоскости 
квадрат с центром в точке 
и 
сторонами длиной 8, параллельными осям координат (см. рисунок). Среди бесконечного числа точек координаты которых удовлетворяют уравнениям системы, в этот и квадрат попадут лишь две:
Отсюда, возвращаясь к первоначальным переменным, находим
Ответ:
Пример №335.
Для каждого 
найти наибольшее значение величины 
при условии 
Решение:
Для решения задачи воспользуемся графическим подходом.Обозначим 
и построим график этой функции. Из рисунка видно, что неравенство
выполняется на отрезке
. Наибольшее значение функции 
, судя по её графику, изображённому ниже на том же рисунке, достигается при 
и равно 
. Ответ: 
Пример №336.
При каких значениях уравнение 
имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех найденных значений параметра .
Решение:
Перепишем уравнение в виде 
. Уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда графики функций 
и 
имеют единственную общую точку 
, т.е. когда прямая касается графика (или, что то же самое, графика 
). Угловой коэффициент касательной равен 
, а, с другой стороны, он равен 1. Таким образом, имеем уравнение
Следовательно, 
, откуда 
. Ответ: при 
Для получения дополнительного опыта решения задач с параметрами рекомендуем обратиться к специализированным пособиям, например [14,24,25].
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
