Оглавление:
Градиент
Рассмотрим функцию , определенную в области D.
Определение 19.1. Говорят, что в области D определено скалярное поле, если для каждой точки задано некоторое число (скаляр), т. е.

Таким образом, функция — числовая функция точки.
Пример 19.1.
Температурное поле; распределение концентрации вещества в растворе.
Определение 19.2. Говорят, что в области D определено векторное поле, если для каждой точки задан некоторый вектор, т. е.

Пример 19.2.
Силовое поле, создаваемое некоторым притягивающим центром.
В каждой точке области D, в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются частные производные
этой функции в соответствующей точке:

Этот вектор называется градиентом функции .
Обозначение: — набла).
Таким образом, скалярное поле, задаваемое функцией , порождает векторное поле — поле градиентов
.
Теорема 19.1. Пусть дано скалярное поле и в нем определено поле градиентов. Тогда производная
по направлению некоторого вектора
равна проекции вектора
на вектор
.
Доказательство.
Рассмотрим единичный вектор , соответствующий вектору
:

Вычислим скалярное произведение векторов :

Правая часть формулы (19.1) — производная функции по направлению вектора
. Следовательно,
.
Если обозначить угол между векторами через
, то можно записать:

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: