Гомоморфизмы. Фактор-группы

Гомоморфизмы. Фактор-группы

• Гомоморфная. Фактор группы. Пусть G группа с элементами a, 6, c, … и G некоторое множество Законы состава его элементов a, b, c, … Используйте мультипликативную запись Позиция: c = afr, элемент c называется произведением элементов Товарищ а и б. Определение 1. Карта группы G для задания G d): F: G ^ G (9,5) Называется гомоморфизмом для любого элемента a∈G и b∈G основана отношения f (ab) = f (a) f (b), (9.6)

• Где f (a), f (b) и f (b) являются изображениями элементов a, b и ab под отображением /. Кроме того, G называется гомоморфным образом G. Является подмножеством G и в случае гомоморфизма (9.5) Гомоморфизм имени. Замечания: гомоморфизм (гомоморфизм) (Физический) положить группу G в набор G и разбить все элементы группы Непересекающиеся классы: все G элементы, которые отображаются на несколько элементов G.

Следующее предложение верно. Людмила Фирмаль

Теорема 9.4. Групповой гомоморфный образ есть группа. Доказательство. Пусть a, b, c, … — гомоморфные элементы G образ группы G при гомоморфизме / под. Это группа G может показывать элементы a, b, c, … такие как a = f (a), b = f (b), c = = / (S), … В множестве G умножение элемента соответствует правому Лом (9,6). Убедитесь, что эта операция умножения соответствует требованиям.

Определение группы 2 (1 °), 2 °) и 3 °) (см. Подраздел 2 этого раздела). 1 °) Умножение связи. Давайте сделаем два a (bc) и (ab) c. Согласно правилу (9.6) a (bc) = f (a) (f (b) / (c)) = f (a) f (bc) = f (abc) (Al) c = (/ (a) / (b)) / (c) = f (ab) f (c) = f (abc) Сравнение этих соотношений дает a (bc) = (ab) c. так Элемент ассоциативности выполнен. 2 °) наличие агрегата. f обозначает элемент f (e), Где е — единица G.

1) Отображение такой группы G в / из множества G соответствует такому Взаимодействие между элементами множества G n G такое, что a∈G для каждого элемента Каждый элемент связан только с одним элементом, и каждый G Изображение хотя бы одного элемента Г. Символично, карта G на G описывается соотношением (9.5)).

Для элемента a группы G согласно правилу (9.6) ayo = f (a) / (e) = f (ae) = f (a) = a. Таким образом, элемент а действительно играет единую роль. 3 °) Наличие обратного элемента. Дисплей с OG х Элемент f (a), где a — инверсия элемента a в группе не Г. Согласно (9.6), aoG1-f (a) f (a ~ 1) = f (aa ~ 1) = f (e) = = е. В результате элемент og x играет роль следующего обратного элемента.

Элемент а. Следовательно, операция умножения элементов G требует Определение 1 °), 2 °), 3 °) двух групп. G, следовательно, группа. теорема Проверенная. Пусть G нормальный делитель. Определите следующее Отображение группы G смежных классов для установки G.

Нормальный делитель H: если a принадлежит G, этот элемент Ассоциировать класс смежности Указанный предмет. (Согласно соседнему классу собственности 3 °) Предыдущий пункт) на каждом элементе группы G при таком отображении Поддерживается только один класс.

То есть отображение / Группа G в набор обычных классов остатков деления Лю Н Докажем следующую теорему. Теорема 9.5. Отображение выше / рядом с группой G Класс по обычному делителю Н при определении умножения Из смежных классов как подмножество группы G Гомоморфная.

Доказательство. В конце предыдущего параграфа мы доказали Если aH и bH являются смежными классами, Эти классы оценок aNBH как подмножества G смежны Класс (ab) H. В результате Произведение страны / элемента b смежно Класс (ab) H равен произведению смежных классов aH и bH. так мю / является гомоморфизмом. Теорема доказана.

• Набор результатов нормальных G смежных классов Разделите эти классы на подразделения и Н Набор G образует группу. Эта группа называется регулярной G фактор-группой Обозначается делителем H и символом G / H. Результат продолжается из теоремы 9.4. Замечания. Очевидно, что отображение на группу G / множество.

Нормальный класс делителя H равен Стрелять из этой группы в торговую группу G / H Рассмотрим следующий пример: Если Rn является n-мерным линейным координатным пространством, рой, как описано в пункте 2 примера 3 этого раздела.

Абель (то есть коммутативная) группа для добавления элемента. Людмила Фирмаль

Полицейский (точка х в этом пространстве Кроме того, дочерний набор из n действительных чисел (xi, …, xn) Добавление элементов (xi, …, xn) и (? / I, …, yn) выполняется в соответствии с лу (xi +? / i, …, xn + yn)). Rn по прямому определению продукта Экспресс Прямое произведение одномерного пространства: Rn = 4) Xy | 2) x … xA (n). Например, R \ n \ является подгруппой.

Абеля nn, поэтому, очевидно, пη \ является нормальной подгруппой в Rn. Рядом с Класс элемента a из Rn является прямой через точку параллельно линии ku R) ny и фактор-группа Rn / R} ^ изоморфны (N-1) -мерное подпространство Rn ~ 1: d «-1 = D | 1) xy | 2) x … xD {„ _ 1). (9.7) Фактор-группа Rn / Объяснил в отношениях RTllR \ n) = R \ l) X DB) X (9.8) Продолжайте к (9.7).

Последний символ формулы (9.8) Равенство следует считать изоморфным между аналогами В группах. Доказано, что нормальный делитель H определяет Побег из группы G в фактор-группу G / H и наоборот Утверждение: учитывая гомоморфизм множества G группы G, Этот гомоморфизм определяет обычный делитель H, Группа G 2) и фактор-группа G / H должны быть одного типа.

Докажем две теоремы, связанные с этим утверждением. Теорема 9.6. Пусть f — гомоморфизм из группы G в G, let — набор из G элементов. К / сопоставлены с элементом / (е). Где е py G. Тогда — нормальный делитель G. 2) Согласно теореме 9.4, гомоморфный образ группы Группа. Доказательство. Достаточно доказать, что я подгруппа Группа G и каждый левый смежный класс этой подгруппы В то же время класс справа.

Сначала убедитесь, что Я является подгруппой в G. Для этого Если GI и 5GI, то и GI, и И е я, то ОГ1 еИ. Пусть a∈I и b∈H. Поскольку / является гомоморфизмом, / (ab) = = f (a) f (b) = f (e) f (e). Однако f (e) играет единственную роль в группе G (см. Теорему 9.4). так f (e) f (e) = f (e), т.е. f (ab) = f (e) Следовательно, ab GI. Кроме того, a∈H, то есть f (a) = f (e).

Затем, если от А до х обращены Элементы a, то от aa до x = e, то есть от aa до xεY. / Является гомоморфизмом, поэтому После этого f (e) = f (aa-1) = f (a) / (a) = jf (e) / (a) = f (a). так mu / (от a до x) = f (e), таким образом, oG1 G I Теперь докажите, что каждый смежный класс слева В то же время соответствующий соседний класс.

Пусть a произвольный элемент группы G. Набор является A элементов группы G, сопоставленных с / Элемент f (a) — это левый и правый смежный класс aH Такие, как. Это завершает доказательство теоремы. Г. Н. Рассмотрим уравнение 3) ах = а ‘. (9.9) Поскольку / является гомоморфизмом и / (af) = / (a), из этого уравнения Получить f (ax) = f (a) / (x) = f (a ‘) = f (a), то есть f (x) = f (e).

Поэтому x∈I. Но согласно (9.9) а; = ах, то есть а; Посмотрите далее на уравнение xa = a и сделайте то же самое Логически убедитесь, что xGI. = Мисс, то есть ‘G G да Следовательно, A = aH = Na. Теорема доказана. Теорема 9.7 (теорема о групповом гомоморфизме). Пусть / — Гомоморфизм группы G в G Элемент G, гомоморфизм / Группа G передняя 4). Далее, группа G и фактор-группа G / H одного типа.

Доказательство. Установить личную переписку Между элементами группы G и нормальными соседними классами Divisor :: Связывает своего соседа с элементом a группы G Классы с / отображаются в. Очевидно, это 3) Это уравнение можно решить с помощью результата 2 теоремы 9.3. решение Существует элемент x = a ~ 1a ‘. 4) Согласно теореме 9.

4G является группой. Соответствие составляет 1: 1, потому что согласно свойству 3 °) Классы (см. Раздел 4 данного раздела) эти классы не пересекаются. Определение этих классов умножения как подмножества группы G И используйте проверенное утверждение в конце предыдущего В этом абзаце легко увидеть, что только что созданные друг друга. Важная переписка того же типа. Тем не менее, соседний класс Элемент факторной группы. Теорема доказана.

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Изоморфизм групп. Подгруппы	Невырожденные линейные преобразования
Смежные классы. Нормальные делители	Группа линейных преобразований