Глобальные свойства непрерывных функций

Глобальные свойства непрерывных функций

• Глобальное свойство непрерывной функции. Шаблон А4. 12 (п р о Х О Ф Д Е Н И Е Н ЕП Р С ест О Ф Н К Тион н е р е з н ы й Л Ы, когда см Жено АК на Зн в). Функция} (x) является смежной на отрезках[a, B], что делает значение этой функции на краях отрезков [(a) и [(B) числом различных знаков. Тогда внутри отрезка[a, b] есть такая точка 5, и значение этой функции равно нулю. Д О К а з а т е л ь с Т В О. можно

предположить/(а)<0,/(б)>0 без ограничения обобщений. Пусть {X} — это совокупность всех значений x из отрезка [a, B]/: (x)<0. Это множество не пусто (- оно принадлежит, Например, точке x=a), а сверху (например, числом b) ограничено. Согласно теореме 2.1, множество{x}имеет точную верхнюю границу, которая обозначается через

|. Заметим, что точка является точкой отрезка[a, B]и из условия/(A)< 0, Людмила Фирмаль

/(&)>0, благодаря теореме 4.11, существует точка полукруга B справа, в ней есть/(x)<0, точка полукруга b слева, в ней есть/(x)>0. Давайте убедимся, что/(^)=0. В противном случае, согласно Deoreme4. 11, было бы B соседей Ba, B строго монотонно. D o K a z a t e l s T V o. это связано с существованием обратной функции 1 (x), [(a)^(B). К нему?(А)<Ф(1>)[/(А)>^(Б)]. Покажем ли мы его?(x) увеличивается[уменьшается] строго монотонно для отрезков[a, B]. Рассмотрим случай D a)D&),

причина аналогична.(A, B) заранее установить справедливость неравенства ((x)<[(B) для всех x. действительно, пусть такие X\<=(A, B) Dx1)>D&) существуют. (Эквивалент DHD=DI) невозможен из-за существования обратной функции функции DH).Примените теорему 4.13 к отрезкам[a, X1]и [X], B] и используйте неравенство/(«)<d), вытекающее из da)Я^±Ш>/(Б ) , 1 (11)= = ND1±11Y.So, но IV1)=/(S, Что противоречит существованию обратной функции функции/(x) на

• отрезке[a,B]. Теперь установите строго монотонное увеличение/(x) для сегмента[a,B]. Предположим, что есть два числа X1/(XG). Мы показываем, что это предположение приводит нас к противоречиям. Применить теорему 4.13 к отрезкам [XY x2] и [x2, B]|/(X1)>TX2),/(X1)< / (B) / (Х2)<<М), Убедимся в существовании двух таких чисел^ze (X], x2) и & Четыре. 6=(x2, 6), что W)=W)=so,B=AND = &4,но I)=/(§4), что также противоречит существованию обратной функции функции/(x) на отрезке[a,&]. Видя, что x1 < x2 условие/(X1)=/(x2)также невозможно,

Мы заключаем, что X10 существует значение x множества{x}, а для значения соответствующей функции оно истинно}(x)) ‘(Д Аналогично, точная нижняя сторона t функции|(x) на множестве{x}обозначается символом. Т=ШГ {/(х)}=1pg/(ч). М) В частности, точный верхний / (x)сегмент функции{a,/?]Может быть представлен любым из следующих четырех символов: 174 Глава 4. Непрерывность функций Зир / (х)=Зир {/(%)} = Зир/(х) = Зир{/(%)}. B]6[I. B] Похожие четыре символа на точной нижней грани принимают форму 1Р! /(Х)={/(Х)}=/(Х)=Ж(Д/(х)}. а<х<б^х^б он[А>Б]*6[а.Б] Справедливо следующее утверждение: 1) если функция CX) окружена сверху множеством{x}, то это множество имеет точную

верхнюю[точную нижнюю]поверхность;2 ) функция/ ( % ) имеет множество{x} (обе стороны). Эти утверждения являются прямым результатом Людмила Фирмаль

теоремы 2 в главе 2.1, где для границы функции/(x) на множестве{x}сверху, множество всех значений этой функции сверху. То есть, существует ли такая точка x0 в пределах точки множества{x},/(XO) — это точная верхняя[соответственно точная нижняя]сторона множества{x}/(x) и значение функции равно. Следующий пример показывает, что точная плоскость функции, заключенной в заданном множестве, обычно недостижима. Рассмотрим на отрезке[0,1] функцию следующего вида/(x) (рис. 4.25): =[x * at°<x<(1 / 2at x=0 и x = 1. Эта функция ограничена отрезком[0,1] и имеет точную верхнюю поверхность L4=1 и точную нижнюю поверхность t=0. В

отрезке[0,1]нет точки, где значение функции равно нулю или нулю. Обратите внимание, что рассматриваемая функция/(x) не является непрерывной в сегменте[0,1] (это где дочерние x=0 и x=1 имеют разрывы). Оказывается, такая ситуация не случайна. 4.15 (в Т О Р А я т е О Р Е М А В Г Е Р Ь Р А С А А С а). Если функция CX) смежна на сегментах[a, B], то она достигает точных верхней и нижней поверхностей на этом сегменте.(X1) равно точной вершине CX в сегменте§6. Локальные и глобальные характеристики непрерывной функции 175

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

О точках разрыва монотонной функции	Понятие равномерной непрерывности функции
Локальные свойства непрерывных функций	Понятие модуля непрерывности функции