Оглавление:
Главные координаты
- Если вы выбираете A «и q , То в новых обобщенных координатах системы основная вибрация с частотой кг является основной вибрацией обобщенных координат q (‘\ и L2 ^ ´k00РDinat ° Обобщенные координаты, каждая из которых представляет только одну главную вибрацию, называются системными главными координатами. Любые обобщенные координаты, которые проходят через главную в соответствии с (71), должны быть представлены их линейной комбинацией: 01 = 0 ^, + 0 (2 ‘; 02 = Pi0 (i «+ P20 <2’.
Для равных частот обобщенные координаты являются основными. Для основных координат система уравнений должна быть разложена на два независимых независимых уравнения, как если бы частоты были равны. Как только обобщенные координаты q ^ y и q {i \ определены, можно найти основные координаты системы. Основные координаты также могут быть определены с учетом преобразования кинетической энергии и потенциальной энергии системы.
Для подвижных осей, скрепленных с телом, моменты инерции являются постоянными, не зависящими от времени, так как положение тела относительно этих осей не изменяется при его вращении. Людмила Фирмаль
Чтобы разрешить одновременные уравнения в независимые уравнения, представление потенциальной и кинетической энергии не должно включать членов, которые содержат произведения переменных. Это может быть использовано в качестве основы для нахождения основных координат. На самом деле, пусть qt и q2 — произвольные обобщенные координаты, а q \ и q2 — главные координаты. Взяв линейную зависимость между qlt q2 и q \, q2, мы попытаемся получить слагаемое, в котором разложение кинетической и потенциальной энергии равно нулю. = ай? ’I +« Ml; 02 = Pi0i + p202.
Включите константы a и a2 в q \ и q2. То есть взять 0 (1 = a2 = 1). Тогда неизвестные постоянные P и p2 могут быть определены из основных условий координат. 7 ´ = 1/2 (a’ngi2- | -a22022); I = * / 2 (cii0i2 + c22022) »» (73) То есть i’12 = c’12 = 0. Неизвестные константы p и p2 фактически являются форм-факторами, поэтому спецификация форм-фактора сохраняется. Подставляя (72 ‘) в уравнения кинетической энергии и потенциальной энергии (57) и (60), 7 ’=, / 2 {(a11 + 2a12pi + a22₽?) 0> 2 + 2hi +« i2 (Pi + p2) + ‘| + «22p1p2] 0’102 + (ac + 2ai2P2 + a22p2) 022}; 77 =, / 2 {(c11 + 2c12p1 + c22pO0’i2 + 2 [c11 + c12 (p1 + p2) + Г1; + ^ * 22Р1P2J 0 * 102 + (^ 11 + 2с22Р2 + С22Р2) 022.
- Сравнивая (73) и (74) и используя условие a’12 = 0, s * 12 = 0, 1 + <-. A (P, + P2) + ^ 22P, P2 “<> — I. Соотношение между новым и старым коэффициентом инерции и коэффициентом жесткости Л’ц = Лц + 2 © 12₽1 + а22₽Ьа * 22 = уц + 2 «12₽2 + <г22р2; От s = s, 11 + 2С12₽1 + с22₽1, С22 = е11 + 2с12р2 + с22р2- (75) P, ₽2 = SSS: ₽, + ₽2 = SSS ’(77) Эти соотношения позволяют нам построить квадратное уравнение с корнями (5j и p2. (Ai2C22-a22 ^ 2) P2- (C22Cu-a11C22) P + (a1iC12-ai2Cll) = 0- (78) Мы можем доказать, что корень этого уравнения вещественный.
Таким образом, коэффициенты p и P2 могут быть определены двумя способами: как коэффициент в форме согласно уравнению (69) или как корень квадратного уравнения (78). Система малых колебаний (63) с основными координатами q \, q2 разбита на два независимых уравнения с учетом того, что «12 = ^ 12 = 0. a \ 191 + c] 19i = 0; a229 * 22 + s’229’2 = (79) Их решение имеет вид 9 * 1 = ^ Vsin (^ iJ + ai); 92 = -4 ^ 2) sin (A: 2f + a2), (80) Где / s] и k2 — основные частоты колебаний. Они рассчитываются по формуле Используя (72 ‘) и (80) для любых обобщенных координат qt и q2, мы можем получить уравнение (71). Частота изменения основной координаты соответствует частоте основной вибрации. * 1 = L ;; k’2 = кг.
Математически связи могут быть выражены уравнениями или неравенствами, в которые входят время, координаты всех или части точек системы и их производные по времени различных порядков. Людмила Фирмаль
Это связано с тем, что частота не зависит от выбора конкретных обобщенных координат. Они определяются свойствами системы и потенциальным силовым полем, через которое система движется. Для системы с двумя степенями свободы справедливость (82) может быть проверена прямым вычислением с использованием уравнения (76). Хотя кажется, что вычислить частоту по формуле (81) проще, чем по уравнению частоты (66), предварительное определение основных координат является такой же сложной задачей, как решение уравнения частоты.
Основные координаты полезны для теоретических исследований, особенно для вынужденных колебаний, которые не учитывают сопротивление. Таким образом, каждая главная координата системы изменяется по гармоническому закону с определенной частотой, амплитудой и начальной фазой, как в системе с одной степенью свободы. Этот результат полезен для естественных колебаний систем с любым конечным числом степеней свободы. Некоторые частоты могут оказаться одинаковыми, но это не вызывает резонанса.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
