Оглавление:
Геометрическое свойство траекторий
- Докажем следующие геометрические свойства: дадим произвольные фиксированные значения константам a, 0, h и изменим константы a , p , тогда траектории, определенные первыми двумя уравнениями J , будут перпендикулярны поверхности с уравнением W const. Как показано в следующем разделе в качестве упражнения, эта теорема может быть легко доказана с использованием декартовых координат. Теперь мы докажем эту теорему в любой системе координат, чтобы получить метод доказательства, который пригоден в будущем при рассмотрении движения системы. Заметим, что необходимое и достаточное условие вертикальности 2 бесконечно малых перемещений dx, dy, dz и 3x, 3 y, b имеет вид: ДХ 3х + ды от + ДЗ з ф.
Отсюда видно, что численное значение скорости будет такое, как при падении точки по вертикали из Р в Л4 без начальной скорости. Людмила Фирмаль
В частности, если dx, dy и dz являются фактическими перемещениями движущихся точек вдоль траектории через интервалы времени dt и предполагают, что Zx, Zy и bg являются любыми перпендикулярными к ней перемещениями, то ортогональное условие может быть разделено на dt и выражено через x как, y , производная x для g t, в следующем виде: х Х3 + г к + г БР =0. 13 При переходе от декартовых координат к новым координатам glf q2, q3 х = toi. 72 7ч. Г = 72 Ч 2 = гв К2.Q3 Отсюда Следующий На ZX Где bqi, bq2, bq3 малые вариации координат qit q2, q3, соответствующие смещению 3x, by, br.
- Помня, что кинетическая энергия выражается в форме, условие ортогональности 13 легко проверить, поэтому его можно выразить следующим образом: ДТ г ДТ + РМ 2 + м 2 3 Или на основании ранее принятого обозначения, в виде P1g91 91 + Pg8 7g +z8 7z =0. 14 Вернемся к интересующей нас теореме. Мы хотим доказать, что траектория определенной точки перпендикулярна траектории поверхности, как показано в формулировке Л = сопи. 15 Проходит через рассматриваемое положение движения point.
В наиболее общем случае, который может представиться, сила зависит от положения движущейся точки, ее скорости и времени. Людмила Фирмаль
To для этого достаточно указать, что скорость x ty , z at точки движения перпендикулярна смещению bq2, q3, которое происходит вдоль поверхности 15, то есть удовлетворяет условиям. 16 Другими словами, достаточно указать, что это условие 16 обязательно сопровождается условием ортогональности 14.Но это очевидно на основе теоремы Якоби. Поскольку значение pp p2, p3 вытекает из этой теоремы уравнение J j в предыдущем абзаце ДГ ДГ dqv dq2 3 ctys В результате условие 16 означает уравнение 14 и скорость точки, поверхности W const.
Смотрите также:
Решение задач по теоретической механике
| Теорема Якоби | Декартовы координаты в пространстве |
| Частный случай, когда t не входит явно в коэффициенты уравнения Якоби | Плоское движение. Движение по поверхности. Общие положения |
