Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области

Оглавление:

Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области

Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области. Пусть P-плоская область o непрерывное дифференциальное отображение Hb от 1 до 1 и плоскость H1Y с Якобианом, который не равен нулю нигде в O. тогда, по принципу сохранения области, множество O * = P (0) также является областью (см.§ 41.8), и Якобиан сохраняет знак O своей непрерывностью (см. теорему 19.5 4). e. o везде положительно или везде отрицательно. Приведите отображение координатной записи P по следующей формуле: х-х(U, о） Г-г(У, в). (47.23） Лемма 1. если y-кусочно-гладкая кривая при 0, то это изображение y * P (y) под картой P также будет кусочно-гладкой кривой. Доказательство. Сначала пусть y-гладкая кривая, т. е. непрерывная дифференцируемая кривая без сингулярности (см. определения в§ 16.4, 15 и 16）、 u = u(1), σ=μ (I), a> 1 также является областью, а его граница Γявляется образом границы области Γ(см. лемму 1 в§46.1), то есть Г =г (Г).

На самом деле, как уже упоминалось, при сделанных предположениях формула Грина всегда применима, но это не доказано. Людмила Фирмаль

Таким образом, граница g * также является простым (1-к-1 отображением) кусочно-гладким (согласно Лемме 1 этого раздела) контуром y.в результате Интеграл кривой может быть вычислен вдоль контурных линий y = dG и y * = 5 T.Позволяет применить зеленую формулу к доменам гамма и гамма.Например, теорема 47.5 удовлетворяет условиям, наложенным на область 1. §47. Интеграция кривых Двести шесть Как обычно, положительный контур ориентации γ представлен γ^(см.§47.5).Пусть будет так у = у(Т,Б = г {1), СК-> б、 быть выражением контура Y +、 Х = Х [У（1）、»（*）]、г = г [УИ], и (1)], (47.24） Некоторое представление контура 7 *. Он также предполагает, что вы смешиваете ДГУ д Вода и потому они непрерывны И равны друг другу во всех точках области О.

По формуле (47.20). ПГ * Р ^ хйу, (47.25). Здесь e = + 1, если ориентация контура 7 положительна, и e = 1 для противоположного. То есть, если положительный раунд (7.23) соответствует положительному раунду (47.23) в отображении (7.23) и круглому раунду * = / r (y), то e = + 1(e =-1 соответственно). Если преобразовать Интеграл (47.25) в выражение (47.8) и использовать выражение 7 * контур (47.24), то получится: ПГ * = Е | Х $ М = = е ^ Йи + х-ID. ？т. Примените формулу Грина к интегралу результата (см. теорему 47.5 1). Р = х*〜 обозначается= А как же в этом случае д(} _ dhdu. д-д-ДХ ду d2u ирч-Ди-Ди-да-да-да-Ди-Ди’hda.

Это возможно только для g (x, y), так как левая сторона этого уравнения больше нуля, правая сторона также положительна, и Якобиан (47.23) отображения не меняет знака. Людмила Фирмаль

Здесь мы используем существование, в котором мы нуждаемся выше д’2u Д. Вторичный дифференциал в частных производных и приобретение д (д д ДХ ду ДХ ду Д(х, г） ди да ди да да Ди Ди(ов) Откуда ПГ * = ^ Pju + б (1д-Р ^(^% ) yiid = ^ г^) 1 и 1е. 7+ Г Д 47.7.Геометрический смысл отображения символа Якоби Двести семь 0.、 d (и V)^ ’ То есть, если число e имеет тот же знак, что и Якобиан g (x, y) 、、это хорошо. Поэтому знак е о(U, о） Определяется знаком Якобиана、 Д (х, Г)Д(х, г） U, e ^ =в этом случае Зависит от выбора схемы y. и это одинаково для всех точек области O. Таким образом, доказываются следующие теоремы: (47.26） Лида. Д (х, Г)Д(У, Ы） И1. Также.

Формула Грина.	Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов.	Несобственные кратные интегралы. Основные определения.