Геометрический смысл производной и дифференциала

Геометрический смысл производной и дифференциала

Геометрический смысл производной и дифференциала. point. To прояснив эту связь, мы сначала определим касательную. Определите функцию y = A(x) с интервалами(a, b) и смежно в точке x0€(a, b).Позвольте мне. Нарисуйте секущую M M (рис. 39).Уравнение y = Расстояние Ax ^ / M M / point M до точки M стремится к нулю (в этом случае точка M говорит, что она стремится к точке Mo, и я пишу M ^ Mo). фактически, из-за непрерывности функции A, для x = Xo Определение 4.Если существует конечный предел Ith Ch (Ax)= Ch, то линия уравнения Y, полученное из уравнения y =Ч (Ax) (x-x)+ ax ^(рис.39), называется (косой) касательной графа функции A в точке (x, y). 4) уравнение прямой, если umЧ (Ax)= ^ полученные с помощью Ax ^из уравнений секущих линий, записанных в виде h-dx = x-x + h ^ Xc), называются (вертикальными) касательными графа функции A в точке (x, y).

Понятие дифференцирования и дифференцирования функции в определенной точке связано с понятием касательной к графу функции в этой точке. Людмила Фирмаль

• Ограничьте его (Dx), если строка (9.1) и Ах… (9.11) если этот предел бесконечен, то они называются предельным положением линии (9.8). Здесь следует отметить, что в силу равенства (9.9), существование конечных пределов его к(ДХ)= ее ^означает существование конечной производной а ’ (Х)= в. Таким образом, если функция имеет конечную производную в точке Х, то касательная к графику функции в уравнение точку (Х, а (Х)) является У = А(х) (х-х)+ г, (9.12） Где Y = а (х).Однако, если^μ=^, то есть A ’(x)=,、 Dх <sup class=»reg»>®</sup> ЛК lu(9.9), из Um (Dx)=^, следовательно (см. (9.11)), уравнение Дуплексный<sup class=»reg»>®</sup> .

Форма касательной формулы равна x = x. Как видно из аналитической геометрии, коэффициент A ’(x) уравнения (9.12) равен касательной угла (см. рис.39), и рассматриваемые линии формируются в положительном направлении оси Ox. A ’(x)= 1 ^ a, то есть производная функции в одной точке равна касательной угла между касательной и абсциссой в соответствующей точке графика функции. Первый член в правой части выражения (9.12), то есть выражение A ’(x) (x-x)= A’(x) Dx, Dx = x-x, является дифференциальным _y функции A в точке x. таким образом, по равенству (9.12)、 Где Y-текущая ордината tangent. So, производная функции в определенной точке будет равна приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика функции.

• Замечание. Если в точке x существует бесконечный предел Um, то он может оказаться равным следующему Или-в этом случае, если x = Xo, то бесконечно производная y ’=или y’ =и граф функции существует Y = f (x) вблизи точки X0 имеет форму, схематически показанную на рисунках 41 и 42. Ограничения Есть бесконечность частного знака, следовательно, в этой точке нет определенного или бесконечно определенного знака дифференциации, только A ’(xo). Это может произойти, например, если точка Хо имеет одностороннюю бесконечную производную другого знака. Далее, вблизи точки Ho, график функции имеет вид, схематически обозначенный на рисунках 43 и 44. Образцы. Найти касательную параболы y = x в точке с координатами (1, 1).

Согласно подразделу 9.1 (см. Пример 5), y ’= 2x; следовательно, y’ | x = 2.By по формуле (9.12), искомая касательная имеет формулу y. Если функция A дифференцируема в точке x, то если вы присваиваете ей выражение (9.5) A = f ’(x0) (см. теорему 1 в этом разделе)、 Итак, косая касательная к графу функции обладает тем свойством, что разность между ординатой графа и этой касательной является бесконечно малой более высокого порядка в x ^ xo по сравнению с приращением аргумента. Назад. Если есть не вертикальная линия Пройдите через точки (x, y)、 Эта линия является касательной к графу функции в точке (x0, y0).

Таким образом, приведенное выше определение касательной к графу функции можно перефразировать следующим образом: предельное положение секущего, или положение секущего эквивалентно, называется касательной к графу функции A в точке M. Людмила Фирмаль

• Действительно, в данном случае Иначе говоря Таким образом, функция A дифференцируема в точке x0 (см. (9.2)) и A = A ’(xo) (см. теорему 1).То есть указанная линия совпадает с касательной линией (9.12). Итак, для того чтобы нуль (9.13) был диагонально касательным к графу функции f (x) в точках (xo, yo), условие (9.14) необходимо и достаточно. Из этого, в частности, можно видеть, что она уникальна(последнее, например, вытекает из того, что производная функции уникальна, или касательная графа функции в определенной точке уникальна).

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Определение производной.	Физический смысл производной и дифференциала.
Дифференциал функции.	Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.