Геометрический смысл производной связан с понятием касательной.
Рассмотрим функцию 
— непрерывную на отрезке 
. Выберем на графике точку 
и произвольную точку 
; проведем секущую 
(рис. 12.1).
Касательной к графику функции в точке 
будем называть предельное положение секущей , когда точка , двигаясь по кривой, стремится к точке .
Если на рис. 12.1 провести вспомогательный отрезок 
и рассмотреть прямоугольный треугольник 
, то длина стороны 
, а 
. Найдем 
как отношение противолежащего катета к прилежащему: 
.
Тогда 
.
Мы нашли . Как же теперь осуществить переход к углу 
, который образует касательная с положительным направлением оси 
? Очевидно, что если 
будет стремиться к 0, то угол 
будет стремиться к углу . Эта же связь будет соблюдаться и для тангенсов углов и , т.е. 
. Найдем предел : 
, a полученный предел есть ни что иное, как значение производной в точке 
.
Таким образом, 
. Кроме того, касательная — прямая с угловым коэффициентом 
. Тогда геометрический смысл производной можно сформулировать следующим образом:
Производная функции 
в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке , и равна тангенсу угла наклона, который образует касательная с положительным направлением оси : 
.
Геометрический смысл производной широко применяется при решении задач.
Пример №12.1.
Найдите угол, образованный касательной к графику функции 
в точке 
с осью абсцисс.
Решение:
Воспользуемся геометрическим смыслом производной: 
.
Найдем 
.
Вычислим значение производной функции в точке : 
.
Получили, что 
Ответ: 
.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Правила дифференцирования функций. |
| Производная сложной функции. |
| Уравнение касательной к кривой. |
| Понятие дифференциала функции. |
