Оглавление:
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении
Пусть функция аналитична в точке
и
. Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.
Функция отображает точку
плоскости
в точку
плоскости
.
Пусть произвольная точка из окрестности точки
перемещается к точке
по некоторой непрерывной кривой
. Тогда в плоскости
соответствующая точка
будет перемещаться к точке
по некоторой кривой
, являющейся отображением кривой
в плоскости
(рис. 285).

По определению производной . Отсюда следует, что
. Величина
представляет собой расстояние между точками
и
, а
— расстояние между точками
и
. Следовательно,
есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками
и
к бесконечно малому расстоянию между точками
и
. Этот предел не зависит (
аналитична в точке
) от выбора кривой
, проходящей через точку
. Следовательно, предел
в точке
постоянен, т. е. одинаков во всех направлениях.
Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: величина определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке
при отображении
. Величину
называют коэффициентом растяжения, если
, или коэффициентом сжатия, если
.
Пример №74.5.
Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции в точке
.
Решение:
Функция аналитична в точке
, при этом
. Следовательно,
. Коэффициент растяжения для функции
в точке
равен 5 (плоскость растягивается).
Для аргумента производной в точке имеем:

где и
— углы, которые образуют касательные к кривым
и
соответственно в точках
, и
с положительными направлениями действительных осей на плоскостях
и
(см. рис. 285).
Отсюда . Это означает, что
— это угол, на который нужно повернуть касательную к кривой
в точке
для того, чтобы получить направление касательной к кривой
в точке
. Другими словами,
— это угол между отображенным и первоначальным направлениями касательных к кривым
и
в точках
и
соответственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента производной
.
В силу аналитичности функции в точке
(мы предположили, что
) угол
один и тот же для всех кривых, проходящих через точку
. Для другой пары кривых
и
в тех же точках
и
будем иметь
. Таким образом,
, т.е. если кривые
и
образуют в точке
на плоскости
угол
, то такой же угол
будут образовывать в точке
кривые
и
, являющиеся отображениями кривых
и
на плоскости
(см. рис. 286).

Это свойство отображения называется свойством сохранения (консерватизма) углов в точке
.
Отображение , обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке
, называется конформным (т. е. отображением, сохраняющим форму). Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то такое отображение называется конформным отображением 1-го рода, если направление отсчета углов изменяется на противоположное — конформным отображением 2-го рода.
Таким образом, если функция является аналитической в некоторой точке
комплексной плоскости
и в этой точке ее производная отлична от нуля, то отображение
конформно в этой точке.
Отображение называется конформным в области
, если оно конформно в каждой точке этой области.
Справедливо следующее утверждение: если функция аналитична в области
, причем во всех точках области
, то отображение конформно в
; если отображение
конформно в области
, то функция
аналитична в
и во всех точках этой области
.
Пример №74.6.
Выяснить геометрическую картину отображения, осуществляемого функцией .
Решение:
Отображение конформно во всех точках плоскости
, т. к.
.
Коэффициент растяжения в любой точке плоскости равен 2. Так как
, то направление при отображении не меняется. Таким образом, отображение
есть преобразование гомотетии с центром в нулевой точке (
при
) и коэффициентом гомотетии, равным 2.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Дифференцирование функции комплексного переменного |
Аналитическая функция тфкп |
Интегрирование функции комплексного переменного |
Интегральная теорема Коши |