Рассмотрим в качестве в формуле
единичную функцию
. Тогда цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой, равной 1, и основанием —
. Объём такого цилиндра
численно совпадает с площадью
его основания
. Таким образом, площадь плоской фигуры
можно находить по формуле:

Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции заключается в том, что величина двойного интеграла от единичной функции но области равна площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования
.
Рассмотрим пример вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.
Пример решения заказа контрольной работы №89.2
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования
, будем использовать формулу:


В нашем случае областью интегрирования является фигура, ограниченная линиями

Вычислим

Для этого построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Линии, задаваемые уравнениями — прямые, параллельные оси
и проходящие соответственно через точки (1;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением
— гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу
можно получить из гиперболы
с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.
Описание линий, задающих область интегрирования , позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.
Изображенная на рисунке область интегрирования (рис.4) является криволинейной областью. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае

Следовательно,

Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге,

Следовательно,

Ответ:

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:
Заказать контрольную работу по высшей математике
Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:
Признак Даламбера для общего члена ряда |
Основные свойства рядов |
Пример вычисления подобного повторного интеграла |
Нахождение дифференциала второго порядка функции |