Геометрический смысл двойного интеграла связан с понятием цилиндрического тела. Рассмотрим функцию 
, непрерывную и неотрицательную в некоторой замкнутой области 
плоскости 
. Тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу — замкнутой областью , с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси 
, а направляющей служит граница области , называется цилиндрическим (цилиндроидом) (рис. 30.1.).
Найдем объем 
цилиндрического тела. Для этого разобьем область (проекция поверхности на плоскость ) произвольным образом на 
элементарных областей 
площади которых равны 
. Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности (на рис. 30.1. один из них выделен). В своей совокупности они составляют цилиндрическое тело. Тогда его объем равен сумме объемов всех цилиндрических столбиков. Обозначив объем столбика с основанием через 
, получим: 
.
Найдем объем цилиндрического столбика. Для этого в каждой элементарной области возьмем произвольную точку 
и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой 
. Объем такого цилиндра приближенно можно считать равным объему цилиндрического столбика, т.е. 
.
Тогда получим:
Это равенство будет тем точнее, чем больше число и чем меньше размеры элементарных областей . Поэтому за точное значение объема цилиндрического тела естественно принять предел суммы 
, при условии, что число элементарных областей , неограниченно увеличивается (
), а каждая элементарная область стягивается в точку (
), т.е. 
.
Правая часть данного равенства представляет собой двойной интеграл от функции по области . Таким образом, получили, что
Следовательно, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом и заключается геометрический смысл двойного интеграла.
Исходя из геометрического смысла двойного интеграла, можно получить формулу для нахождения объема тела, заключенного между двумя поверхностями. Так, рассмотрим неотрицательные функции и 
, определенные в одной и той же области на плоскости . Пусть, кроме того, 
на данной области (рис. 30.2.).
Графики этих функций в трехмерном пространстве определяют соответствующие поверхности. Для нахождения объема тела 
, заключенного между ними, надо вычислить разность объемов двух цилиндрических тел, ограниченных сверху данными поверхностями. Следовательно, справедлива формула:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
