Геометрический смысл дифференциала

Пусть — дифференцируемая в точке функция, график которой изображен на рис. 12.2. Отметим на графике точку , абсцисса которой равна . В точке проведем касательную к графику функции .

Дадим аргументу приращение . Из полученной точки восстановим перпендикуляр до пересечения с касательной (точка ) и с графиком функции . Отметим на чертеже приращение аргумента (совпадает с длиной отрезка ) и приращение функции .

Покажем, что дифференциал будет совпадать с длиной отрезка . Рассмотрим треугольник — прямоугольный (по построению), . В этом треугольнике , a . Выразим сторону через и угол : .

В силу геометрического смысла производной тангенс угла , который образует касательная с положительным направлением оси , равен значению производной функции в точке : .

Поскольку , то , а есть ни что иное, как дифференциал . Получили, что .

Сформулируем геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой
функции в точке .

Мы рассмотрели геометрический смысл дифференциала вогнутой функции. Можно показать, что для выпуклой функции (рис. 12.3) геометрический смысл дифференциала останется таким же. Отличие будет лишь в том, что дифференциал окажется больше приращения функции.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Уравнение касательной к кривой.

Понятие дифференциала функции.

Понятие производной высших порядков

Понятие дифференциала высших порядков