Оглавление:
Геометрическая оптика в физике
- Геометрическая оптика. Что такое ее направление? распространение и амплитуда везде одинаковые. Однако часто электромагнитные волны, не являющиеся плоскими, тем не менее таковы, что их можно рассматривать как плоские в каждом небольшом участке пространства.
Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление волны почти не менялись на протяжении расстояний порядка длины волны. Если выполнено это условие, можно ввести так называемые волновые поверхности. ны в данный момент времени одинакова .. (для плоской волны это — плоскости, перпендикулярные к направлению ее распространения)
нормальном к волновой поверхности При этом можно ввести понятие лучей Людмила Фирмаль
В каждом небольшом участке пространства можно говорить о направлении распространения волны, — линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны.
Изучение законов распространения волн в этом случае составляет предмет геометрической оптики. Геометрическая оптика рассматривает, следовательно, распространение электромагнитных волн, в частности свет, как распространение лучей, совершенно отвлекаясь при этом от их Волшебная природа соответствует предельному случаю малых длин.
- Займемся теперь выводом основных уравнений геометрии ской оптики-уравнения, определяющего направление лучей. Может быть, есть какая-то величина, описывающая поле волн. имеет вид / = аехр [г (kr-out + се)] = аехр [г (—к {Хг + се)] (53,1) (мы опускаем знак Re; везде подразумевается вещественная часть). Напишем выражение для поля в виде / = ае ^. (53.2) В случае, когда волна не плоская, геометрическая оптика применима, амплитуда и есть координат и времени, фаза называемая также эйконалом, ..
Не имеет простого вида, как в (53,1) Существенно, однако, что эйконал ф является большой величиной Это видно уже из того, что он меняется на 2тг на протяжении длины волны, а геометрическая оптика соответствует пределу Л -> 0. В малых количествах участников и интерновах времени с точностью до членов первого порядка мы имеем (начало координат и начало отсчета времени значения в интервале времени;
что в каждом небольшом участке пространства Людмила Фирмаль
Сравнивая это выражение с (53.1), мы можем написать: в соответствии с тем, (и в небольших интервалах времени) волну можно рассматривать как плоскую. В четырехмерном виде соотношения (53,3) напишутся как где ki-волновой 4-вектор.
Мы видели в § 48, что компоненты ношением к {кг = 0. Подставляя сюда (53.4), находим уравнение Это уравнение является основным уравнением геометрической оптики. Уравнение эйконала можно ным предельным переходом Л- »0 в волновом уравнении. удовлетворяет волновому уравнению (53,3) -? Х = о. дхгдхг Подставляя сюда / = аег ^, находим + г / = 0. (53,6) Как было указано выше, есть большая величина; поэтому можно пренебречь здесь первыми по сравнению с четвертым (53,5)
Есть еще некоторые отношения, которые, правда, при Менять к распространению света в пустоте ранее очевидными результатами. общие формы эти выводы применимы и к распространению света в материальных средах. Вытекает замечательная ана логия между геометрической оптикой и механикой материаль Движение материальной стороны определено уравнение Гамильтона-Якоби (16.11).
уравнение эйконала, является уравнением в частных производных Как известно, действие S связан с импульсом соотношения г, дБ р = * ‘ж = ~ т- Сравниваем эти формулы с формулами (53,3), мы видим, что волновой вектор волны играет в геометрической оптике роль Частота импульса в механике, частота-роль функции Гамиль тона, т. е. энергии частиц.
это связано с частичной формулой к = си / с. соотношение аналогично ожидаемой р = S jc между импульсом Частицы и скорость, равной скорости света. Для частиц имеют место уравнения Гамильтона дЖ. дЖ Р = — ^ Г ‘v = r = ^ — Как было указано выше, есть большая величина; поэтому можно пренебречь здесь первыми.
Есть еще некоторые отношения, которые, правда, в при Мнение о распространении света в пустом месте общей формы эти выводы применимы и к распространению света в материальных средах. Из формы уравнений эйконала вытекает замечательная ана логика между геометрической оптикой и механикой материальных частиц. уравнение Гамильтона-Якоби (16.11).
уравнение эйконала, является уравнением в частных производных первого порядка и второго степеке связан с импульсом р и функцией Гамильтона соотношения г, дБ р = * ‘ж = ~ т- Сравнивая эти формулы с формулами (53,3), мы видим, что волновой вектор волны играет в геометрической оптике роль импульса в механике, а частолл тона, т. е. энергии частиц. вектора связана с частотой посредством формулы к = си / с.
Это соотношение аналогично соотношению р = S х между импульсом и энергией частицы с массой, равной нулю, и скоростью, равной скорости света. Для частиц имеют место уравнения Гамильтона дЖ. дЖ Р = — ^ Г ‘v = r = ^ — Написать аналогию подобные уравнения для лучей: k = -S-f = <53-7> В пустоте си = ск, так что к = 0, v = сп (п — единичный вектор вдоль направления распространения), т к, т к пустые лучи являются прямыми линиями широко со скоростью с.
Аналогия между волновым вектором волны и импульсом в явном виде тельстве. монохроматические волнения с частотами небольшом интервале, и занимающую некоторую конечную область пространства (так называемый волновой пакет). Вычислим 4-импульс поля этой волны, воспользовавшись формулой (32,6) с тензором энергии-импульса (48,15) (для каждой монохроматической компоненты).
Заменяя в этой формуле кг некоторым его средним значением, получим выражение вида Р1 = А к \ (53,8) где есть коэффициент пропорциональности между двумя Р = Ак, Ј = Аси. (53,9) Таким образом, мы видим волновой вектор и часто Продолжить аналогию, можно установить для геометрической оптики принцип, аналогичный принципу наименьшего действия в механике.
Однако его при этом нельзя будет написать в гамильтоновой форме, S F Ldt = 0, так как оказывается невозможным ввести для лучей функцию, аналогичную функции Лагранжа для частиц. Действительно, функция Лагранжа L частицы связана с функция Гамильтона = рдЖ / др — Ж. Заменяя функция Гамильтона частотой си, должен был написать для функций Лагранжа в оптике kdw / dk. выражение равно нулю, поскольку си = ск.
Невозможность введения функции Лагранжа для лучей видна, впрочем, и непосредственно из указанного выше обстоятельства, что распространение лучей аналогично движению частиц с массой, равной нулю. Если волна обладает постоянной частотой, то зависимость ее поля от времени определяется множителем вида E ~ l (Jjt. Поэтому мы можем написать: ф = -рез + фо (х, У, z), (53.10)
Уравнение эйконала (53.5) принять теперь вид (град ^ о) 2 = (53,11) Волновые поверхности являются поверхностями постоянного эйконала, т. е. семейством поверхности вида (x, y, z) = = постоянный волновая поверхность; том V ^ o *
Как известно, в случае, когда энергия постоянна, принцип наименьшего действия для сторон можно написать также и в виде так называемого принципа Мопертюи: где интегрировано положение по траектории двумя заданными ее положениями. эта выраженная функция Аналогичный принцип для лучей называется принципом Ферма. Мы можем написать по аналогии: что и соответствует прямолинейному распространению лучей.
Смотрите также:
| Разложение электростатического поля | Интенсивность в физике |
| Собственные колебания поля | Угловой эйконал |
