Геометрическая интерпретация метода Лагранжа

Оглавление:

Геометрическая интерпретация метода Лагранжа

Геометрическая интерпретация метода Лагранжа. Здесь мы даем геометрическое описание теоремы 1.Для простоты, когда выполняется уравнение ограничения cp (x, y)= 0, рассмотрим случай условных экстремумов функции 2 переменных r = f (x, y). Предположим, что функции f и PHI непрерывны дифференцируемы в окрестности точки (x0, y0)??Φ (x0, y0)=(dU ’x°d’ x -, y0)] Φ0 и ψ (x0, y0)= 0.By состояние?Φ (x0, y0) Φ0-гладкая кривая с явным представлением уравнения φ (x0, y0)= 0 в форме y (x) или X = x (y) в окрестности точки (x0, y0), согласно теореме о неявной функции. (x0, y0) просто кривая кривая φ (x, y)= 0 (то есть, проще говоря, последовательно всюду, учитывая указанный предел функции/и φ), потому что интерес представляет только точка, достаточно близкая к окрестности точки(x0, y0)). Градиент 7p (x0, y0); равен 0 на нормали кривой φ (x, y)-точка (x0, y0) (20,6 секунды).

Иначе можно объяснить, что это условие выполняется в точке условного экстремума. Людмила Фирмаль

Единичный касательный вектор m к кривой φ (x, y) в точках (x0, y0). для уточнения приведем рассматриваемую кривую в уравнении y-y(x). если (x0, y0) точка условного экстремума, то x0-точка нормального экстремума (см.§ 43.1) функции y (x)= f (x, y (x)), и таким образом y ’(x)= 0, т. е. производная функции/в точке направления направления (x0, y0)= 0, или производная функции (x, y) = в точке Le m、 (Г [(х0,У0), м) ч = 0. ’Д [(х», г»） * ЦТ Четыре * § 43.Условные экстремумы Сто Это означает ортогональность наклона (xa, y0) и касательного вектора m. это делается с помощью векторов V /(x0, y0) и Yp (x0!).У0) соответствует коллинеарности. о, Йоу)= ALCHr (ха, у9）、 То есть условие (43.11) является met.

Пусть 1 (x0, y0) » c. если условие (43.11) не удовлетворяет точке(x0, y°), то есть это не градиент V/, а коллинеарность, то это точка V / = 0 и линия уровня f (x, y)= c, а кривая пересечения в этой точке (x, y)= 0 будет находиться под определенным углом oI, отличным от 0 и I (рисунок) 160. So, в достаточно малой окрестности точки (x0, y0) часть кривой φ (x, y)= 0 помещается в область («область меньших значений»). И площадь части-s («площадь большого значения»).Это означает, что в точках(x0, a) нет рассматриваемых условных экстремумов. Если векторы V / и Vφ коллинеарны, то y / = HAf, часть кривой φ (x, y)= 0, может принадлежать окрестности точки (x0, yo), она целиком является областью малых значений (рис. 161) или областью больших значений{p.

Приведенные выше геометрические соображения для условных экстремумов также применимы к многомерным случаям. Людмила Фирмаль

В этом случае точка (x0, y0) достигает условного экстремума. Однако в случае коллинеарности векторов V /и Vp кривая φ(x, y)= 0 является отчасти малой областью, отчасти достаточно малой окрестностью области, где значение функции велико (x0, y0) (x)тогда в точке (x0, y0) опять нет условного полюсного значения. Например, аналогичная ситуация возникает, когда кривые f (x, y)-c и φ (X, y)= 0 имеют общий касательный в точке (x0, y0), а кривая f (x, y)-c достаточно мала. Вышеизложенное объясняет тот факт, что (43.10) является необходимым, но не достаточным условием для условных экстремумов.

Понятие условного экстремума.	Стационарные точки функции Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума.	Достаточные условия для точек условного экстремума.