Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.
Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Областью изменения переменной называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений.
Переменная величина называется функцией (однозначной) от переменной величины
, если каждому значению величины
, из области ее изменения, соответствует единственное вполне определенное значение
или, в символической записи,
.
Переменная называется независимой переменной или аргументом,
иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин
и
говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Символ
называется характеристикой функции. Вместо буквы
можно употреблять любую другую букву. Частное значение функции
при
записывается так:
.
Графиком функции называется множество всех точек
плоскости
, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.
Классификация функции одного аргумента:
1. Целая рациональная функция или многочлен

где — постоянные числа, называемые коэффициентами;
— целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена.
2. Дробная рациональная функция представляется в виде частного от деления двух целых рациональных функций

3. Иррациональная функция содержит возведение в степень с рациональным нецелым показателем. Например: .
Перечисленные три вида алгебраических функций образуют класс явных алгебраических функций. В общем случае алгебраической функцией называется любая функция , которая удовлетворяет уравнению вида

где — некоторые многочлены от
.
Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.
Основные элементарные функции имеют области определения:
1) степенная функция или
определена при любых
,
определена в интервале
(
— натуральные числа);
2) показательная функция определена при любых
;
3) логарифмическая функция определена в интервале
;
4) тригонометрические функции определены при любых
,
определена при
,
— при
;
5) обратные тригонометрические функции определены на отрезке [-1; 1];
— при любых
.
Способы задания функции: аналитический (с помощью формулы), табличный (с помощью таблицы) и графический (с помощью графика).
Пример:

Задана функция:

Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение:
Не элементарная функция определена на всей числовой оси. Она может иметь разрыв в точках
и
, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция
непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента
. Исследуем точки
и
:
a)
Следовательно, в точке выполняются все условия непрерывности, поэтому в этой точке функция
непрерывна.
б)
Левый и правый пределы функции конечны, но не одинаковы, поэтому в точке функция имеет разрыв (конечный). Скачок функции в точке разрыва конечный
.
График функции приведен на рис. 18.
Ответ: функция имеет конечный разрыв в точке , ее скачок равен 1.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола |
Исследование общего уравнения кривой 2-го порядка |
Вычисление пределов функции |
Вычисление пределов от рациональной дроби при x > a (a ≠ ∞ ) |