Оглавление:
Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции
Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел 
и 
из этого интервала из неравенства 
следует неравенство 
.
Если из неравенства следует неравенство 
, то функция называется неубывающей в этом интервале.
Функция 
называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел следует неравенство 
.
Если из неравенства следует неравенство 
, то функция называется невозрастающей в этом интервале.
Функции возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие называются монотонными.
Следующая теорема выражает важный признак строгого возрастания и убывания функции и указывает правило для определения интервалов, в которых функция возрастает и убывает.
Теорема. Если во всех точках некоторого интервала первая производная 
, то функция в этом интервале возрастает. Если же во всех точках интервала первая производная 
, то функция убывает в этом интервале.
Правило. Для определения интервалов строгого возрастания и строгого убывания функции следует решить неравенства: и . Если окажется, что эти точки не заполняют сплошь какого-либо частичного интервала, то неравенства эти укажут интервалы строгого возрастания и строгого убывания функции.
При решении задач, в которых требуется определить интервалы возрастания и убывания функции, следует, прежде всего, определить область существования этой функции.
Задача №64.
Найти интервал возрастания и убывания функции
Решение:
Функция существует для любых 
, кроме 
, т. е. областью существования функции являются интервалы 
и 
. Находим производную функции:
При 
производная , при 
. В интервале 
функция убывает, а в интервале 
функция возрастает.
Говорят, что функция 
имеет в точке 
максимум, если значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех точках, достаточно близких к 
. Иначе, функция имеет максимум при , если 
для любых положительных и отрицательных значений 
.
Говорят, что функция имеет в точке минимум, если значение функции в этой точке меньше, чем её значение во всех точках, достаточно близких к . Иначе, функция имеет минимум при , если 
для 
.
Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум, а точка называется экстремальной.
Необходимое условие экстремума. Если функция имеет экстремум при , то ее производная в этой точке равна 0 или 
, или вовсе не существует.
Точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых её первая производная 
или не существует. Эти точки называются критическими (если функция непрерывна). Это необходимое, но недостаточное условие существования экстремума.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Производная высших порядков задача с решением |
| Правило Лопиталя задачи с решением |
| Первое достаточное условие существования экстремума функции |
| Второе достаточное условие существования экстремума |
