Если каждой паре значений двух, независимых друг от друга, переменных величин
и
, из некоторой области их изменения
, по закону
ставится в соответствие определённое значение величины
, то говорят, что
есть функция двух переменных
и
, определённая в области
. Функция двух переменных обозначается так:
.
Функция может иметь не только две, но и три и более независимых переменных, например, .
Всё новое, что возникает в дифференциальном исчислении при переходе от функции одной переменной к функции нескольких переменных, свойственно уже функции двух переменных. Поэтому рассматриваем функцию двух переменных с кратким обобщением на функции нескольких переменных.
Совокупность пар значений
и
, при которых определяется функция
, называется областью существования или областью определения этой функции. При этом пара
определяет точку
в области существования. Следовательно, область определения — часть плоскости
. Окрестностью точки
является открытый круг малого радиуса с центром в этой точке.
Функцию двух переменных можно рассматривать, как функцию точки :
. Если задана функция 3-х переменных,
, то одно значение трех переменных
определяет точку
в пространстве. Функцию 3-х переменных,
, можно снова рассматривать как функцию точки, но уже в трехмерном пространстве
.
Область определения обладает свойствами связности и открытости.
Свойство связности заключается в том, что две точки, принадлежащие области можно соединить непрерывной линией, полностью лежащей в области.
Свойство открытости заключается в том, что любая точка области входит в неё вместе со своей окрестностью.
Границей области называется точка или множество точек, не принадлежащих области, но в окрестности которых имеются точки, принадлежащие области. Например, если область задана неравенством
(открытый круг радиусом 1), то граница области — окружность
. Если граница присоединена к области, то область называется замкнутой.
В области существует множество точек, в которых функция
, принимает одинаковые значения. Пусть
. Тогда уравнение
определяет линию в плоскости
, во всех точках которой
. Такая линия называется линией уровня. Если задана функция трёх переменных
, то уравнение
определяет поверхность в пространстве, во всех точках которой
. Такая поверхность называется поверхностью уровня.
Пример:
Пусть . Значениям функции
соответствуют линии уровня
. Запишем уравнения в виде
и
. Это уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусом 2 и 3 соответственно.
Понятие предела и непрерывности функции нескольких переменных логически связано с такими же понятиями для функции одной переменной (см. материал 1-го семестра).
Функцию нескольких переменных будем рассматривать, как функцию точки , что позволит сформулировать определение, пригодное для функций с различным числом независимых переменных.
Определение 1. Число называется пределом функции
при
, если для каждого числа
найдется такое число
, что для всех точек
, для которых выполняется неравенство
, имеет место неравенство
.
При этом пишут: .
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке
, если она определена в этой точке и в её окрестности, и если существует предел
, равный значению функции в этой точке,
.
Особенностью определений 1 и 2 заключается в том, что при движение точки
может происходить по любой траектории в окрестности точки
, т.е. на плоскости в случае двух независимых переменных, в пространстве в случае трёх независимых переменных.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы: