Оглавление:
Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка
- Функция Лагранжа с точностью до квадратичных членов. В обычной классической механике системы взаимодействующих частиц могут быть описаны с помощью лагранжевых функций, которые зависят только от координат и скорости этих частиц (в то же время).
Эта возможность в конечном счете связана с тем, что механика предполагает, что скорость распространения взаимодействия бесконечна. Из-за конечной скорости распространения, В области взаимодействия поле следует рассматривать как независимую систему со своей «степенью свободы».
учитывая конечную скорость распространения взаимодействия Построение системы Людмила Фирмаль
Поэтому, если у вас есть система взаимодействующих частиц (зарядов), вам нужно рассмотреть систему, состоящую из этих частиц и полей, чтобы объяснить это. На данный момент невозможно объяснить точно, , позволяющей частицам взаимодействовать с помощью лагранжевых функций.
Это зависит только от координат и скорости частиц и не включает в себя величины, связанные с собственной «степенью свободы» поля. Однако скорость v всех частиц равна Скорость света и система зарядки могут быть описаны приближенной функцией Лагранжа. Я понимаю 4tge ve ~ i (kv) * с к2- (кгс / с) 2
- Наконец, вы можете ввести функцию Лагранжа для описания системы, не только если все поля v / c игнорируются для поля (классический Функция Лагранжа), вплоть до значения порядка v2 / c2. Последняя ситуация связана с тем, что излучение электромагнитных волн в результате переноса заряда (и, следовательно, появления «независимого» поля) выглядит только третьим. v / c приближение (см. §67 ниже) x).
Во-первых, в приближении нулевого порядка, то есть Пренебрегая полной потенциальной задержкой, лагранжева функция системы заряда имеет вид L (0) = ^ taV “-eaCb (65,1) а> б (Итоги для сборов включены в систему). Второе слагаемое — это потенциальная энергия взаимодействия, как в случае стационарных зарядов.
созданного всеми другими зарядами в точке Людмила Фирмаль
Чтобы получить следующее приближение, действуйте следующим образом В общем. Лагранжева функция заряда еа во внешнем поле La = -m ac2J 1-C-eacp + -A va. (65,2) у с Как только вы выбрали один из зарядов системы, определите потенциал поля, , где расположен первый заряд, а затем с точки зрения координат и скорости заряда, который создает это поле.
для представления Приблизительно: (до условий p-порядка) v2 / c2 и A соответствуют условию порядка v / c. Заменить то, что ты получаешь Следовательно, потенциальное уравнение (65.2) получает функцию Лагранжа одного из зарядов системы (другого конкретного движения). Отсюда вы можете легко найти L всей системы.
Исходить из выражения запаздывающего потенциала Tiarofu: cf = J dv, A = i f dv- Если скорость всех зарядов мала по сравнению со скоростью света, распределение заряда не имеет много времени для изменения 1) Для систем, состоящих из частиц с различными соотношениями массы и заряда
Таким образом, появление излучения отталкивается до пятого приближения. v / s; в этом случае есть функция Лагранжа, Участник заказа Во время R / C. Следовательно, Pt-R / C и jt-R / c можно разложить на СЕРИИ. R / C к власти. Таким образом, для скалярных потенциалов найден максимальный квадратичный член. H> = [e * v_i a [pdV + l_2f 2 [RpdV J R cdt JН2с2dt2 JН (P без индекса — это p в момент времени p. Знаки дифференциации по времени могут быть четко видны ниже интегрального символа).
Однако f pdV — это определенный общий заряд системы. Следовательно, второе слагаемое в полученном выражении равно нулю. Вот так H> — / eTG + I & / *> π- (65’3) Вы можете сделать то же самое с А. Но выражение век 1 / с потенциального потенциала через плотность тока уже включена и будет умножена, если подставить в функцию Лагранжа Опять через 1 секунду.
Так как мы ищем только лагранжевы функции До второго семестра, затем расширение A Достаточно ограничиться только первым сроком. = 1 Jeidv (65,4) (Заменяется на j = pv) Предположим, что сначала создается только одно поле е. Далее из (65,3), (65,4): e e d2R A ev ^ v = S + A = S ‘(65’5) Где R — расстояние от заряда. Вместо <p и A выберите другие потенциалы <p ‘и A’.
Введите калибровочное преобразование (см. § 18): ^ = «Сяat7» A ‘= A + g рад /, И выберите функцию как / р _ е 3Р * ~ 2s dt ‘ Тогда получи 1) R 7 cR ‘2s dt ^ = Ј, a ‘= ^ + ± v -5jR 1) Эти потенциалы больше не соответствуют условию Лоренца (62.1) мю и уравнения (62,3), (62,4). Обратите внимание, что для вычисления A ‘, V — = — Vi2. Операция v дт дт Здесь означает производную по координатам точки Наблюдение там, где требуется значение А.
Почему градиент vi? Равен единичному вектору n, направленному из заряда e в точку Наблюдение вероятно A ‘= — + e p. кр 2 с Пиши дальше: , _ d / NL _ R RR P “d t \ R j ~ R R2 * Однако дифференциал -R конкретной точки наблюдения равен Рост заряда v и производной R можно легко определить Цитата B личность? = R 2, т.е. написать RR = R R = —Rv. Вот так -V + n (n v) n = ————— R
Подстановка этого в выражение для A ‘в конечном итоге покажет следующее: cp ‘= *, A’ = e [v + (vn) n]. (65,6) R 2cR Включено, если поле создано с несколькими платежами вместо одного Чтобы суммировать эти выражения четко для всех расходов. Подставляя их в (65.2), найдем функцию Лагранжа La. Charge ea (для данного движения всех других зарядов).
в Это требует, чтобы первое слагаемое в (65.2) также расширялось со степенью va / c, поместите участников во второй порядок. Итак, мы узнать g mavl 1 maVa v-V eb. L ′ = — + b —- e ° l. б ++ (V «n» b) (v6n a6)] б (Всего будет работать для всех сборов, ea; pai — единичный вектор в направлении между.
Отсюда, найти функцию Реглана больше не сложно MS для всей системы. Эта функция отличается от общего La для всех зарядов, 2 Вт ___ _ _ 4 Sc ‘R a b а> б + C2c «ipRa b tv» vb + (ven ab) (v6n ab)]. (65,7) Конечно, для каждого заряда всех других специфических движений эта функция L Приведенное выше уравнение (65.7) является искомой функцией Реглана Система зарядки до второстепенных (С. Г. Дарвин, 1922).
Наконец, определите функцию Гамильтона системы как Та же приблизительная линия. Это Общие правила нахождения находки в Л. Но легче Следующим образом. Второе и четвертое слагаемые в (65.7) являются незначительными поправками к L (65.1).
С другой стороны, Известный из механики для небольших изменений в L и F Небольшие дополнения к ним равны по размеру и противоположны В знаке (а изменение в L считается данным Координаты и скорость, изменение заданных координат крена Дина и Импульс; см. I, §40).
Так что сразу пишите F, х (0) = A _ + ‘2 т Раб а> б То же, что (65.7), 2-й и 4-й члены, ранее замененные Используйте первые отношения и нив их со скоростью пульса Приблизительный va = p a / ^ a- x = Y «^ + Y ‘- ~ Y’-rr- ‘2171 a’ R ab ‘8s TPa a a> b a -Уменьшить V2 9 2 с помощью [PaP + (PaPaB) (PbPaB)]. (65,8) Z J2СГПаГПъНаЪ а> б Задача 1. Определить центр инерции (с точностью до второго порядка) Система взаимодействующих частиц.
Решения. Самая простая задача решается с помощью выражения E ^ ra + fW rd V ______________ E Sa + jWdV (Ср. (14.6)), S’a — кинетическая энергия частицы (включая ее энергию) Отдых), W — плотность энергии поля, созданного частицами. с того времени S’a содержит большое значение chas2, Достаточно рассмотреть только те члены, которые не содержат c в $ a и W.
Другими словами, Релятивистская кинетическая энергия и электростатическая энергия частиц Поле. У нас есть [WrdV = — [E2rdV = -I {V <p) 2rdV = J Stt J Stt J = — [(Df V—) r- [V ^ -dV — [<pA <p-rdV; 8 н J Y 2/8 н J 2 8 н J Интеграл на поверхности на бесконечности исчезает, второй интеграл Также преобразовать в поверхность и исчезнуть снова, и в третьей настройке Получите А (р = —47гр, [WrdV = I (pVrdV = i ^ e apara, Где (fa — потенциал, созданный всеми зарядами в точке ra. VS1).
Найти в конце Tu _ 1 (2, Ra, ea b \ R- / Gatas N ———- —— / ——) ^ 2Ша 2 б Рабь (Сумма всех b кроме b = a), где ‘-Ј (■ Общая энергия системы. Следовательно, рассматриваемое приближение Координаты центра инерции на самом деле Сумма, связанная только с частицами.
2. Напишите функцию Гамильтона во втором приближении системы Из двух частиц, которые исключают движение системы в целом. Решения. Сумма импульсов Ноль для обеих частиц. Описывая импульс как производную от действия, У нас есть , _ Ds как _ P l + P 2 ——— ч — 0 Ари или 2 Это действие в системе отсчета Разностная функция r = r2-ri радиус-векторов обеих частиц. так p2 = —pi = p. Где p = dS / dr — относительный импульс. Частицы. Функции Гамильтона равны ^ = г! (J _ ++ s + A) + 6162 2 [p2 + (pn) 2] –
Смотрите также:
| Потенциалы Лиенара—Вихерта | Поле системы зарядов на далеких расстояниях |
| Спектральное разложение запаздывающих потенциалов | Дипольное излучение |
