Формула Стокса. Геометрическое определение вихря

Оглавление:

Формула Стокса. Геометрическое определение вихря

Формула Стокса. Геометрическое определение вихря.5, с 2 непрерывными дифференцируемыми поверхностями, в пространстве Хуга нет сингулярности, и r = r (u, V), (u, k) eД-плоская Граничная область, для которой выполняется выражение, formula-формула. Предположим, что граница области O состоит из 1 простого кусочно-гладкого контура. Положительный контур, окружающий область 0, представлен y0, u = u(1), b-его представлением ние. Пусть будет так y… Г » НД» ких / ч | Направление поверхности 5(см. Определение раздела 50.8 20), y =(ω§a, cosr, sozu).В соответствии с вышеизложенным предположением нормальный V непрерывен с O. Поверхность 5, на которой выбрана Нормаль V, представлена символом 5+.пусть γ-контур выражения r = r (u ((), V (/)). 52.4.Стокса Двести восемьдесят семь И-gc I-C b.

Скажем, что контур Y ограничивает поверхность S,а поверхность S растягивается по контуру Y. Людмила Фирмаль

Наконец, пусть O-область пространства Hxug, а 8-Как O. При этих предположениях справедлива следующая теорема. Теорема 3 (Стокса*)).Функции P, (I и P непрерывны с первой частной производной области O, а a (P, 2, P). ^ а гы ^это! 15 лет и старше (52.21） V 5 То есть циркуляция векторного поля вдоль контурной линии y ограничена контурной линией y, равной потоку вихря этого поля через поверхность 8.In формат координат, формат этой формулы является ^ П т\ С1(1У \ по2 = ^ ^ ^ АРИЗОНА $ значение COS р, потому что г d д_ ЦОР делать ДГ Р(я п Или / Рых + Яю \ Рыг = ^ [(||»Ц) с08а+ + ко&$ + {§ -!%) 008h] * 8-52 ′ 22 Доказательство. Например, рассмотрим Интеграл$ Pdx. В Переменные вдоль кривой y0 и y и A V являются функциями I, используя обозначения, введенные в начале этого раздела.

Р (Х, Y, Р) ДХ = = \ Р {х {и {1), О(0), г(У), О(0), р(У(0, » (0)), У(0.°(0) # = = В) В(У, Ф), Р(U, о)] [(|г—ложь + ДХ АО]. И затем… Мы использовали формулу здесь ДХ(Щ(0, г(я)) ТГУ ДС(ТС 、 и. .Л../ ЛЧ ДХ (и (0,«»)) ух x {{и{1), o (0)=ЧЧГ Стокс (1819-1903) английский механик и математик. § 52.Скалярные и векторные поля 288. Примените зеленое выражение к полученному интегралу ^ P-yi \ P, у меня есть. И затем… О Д ДХ, Д ДУ Д ДГ \ dh） СДР д(г,) д-р_ ДГ д (u, v), то сделать dh. Ди. П. th yy = ^ | (^спелый это немного похоже на то.5. д_ К $ Y в| ^ 5. (52.23） Ж / dR_ dx_, other_du_, dR_ dg_ \ г, р \ ППР ДХ Ди ’Ди ду ^ ДГ-ди-да-ди-до Здесь формулы (51.10) и (51.13) являются considered. It это тоже было доказано. No. aU=Ш§§ 0505 05у § 05 05а) a8 ’(52-24 V 5 ^ УГ = ^(^sozs ^ co8pY5.(52.25)） V 5 Если добавить выражения (52.23), (52.24) и (52.25), то получится выражение, называемое выражением Стокса (52.22). Ноль.

Чтобы лучше визуализировать связь между выделением нормали V на поверхности 5 и направлением контура y, окружающего ее. подумайте о поверхности 5 с явным представлением r = = /( * , Г),(*.Г)^ Г. пусть y0-положительный направленный контур на плоскости xOy, являющейся границей Γ, и x = x (1), y = y {1), а затем^ (=b, это представление. Определите направление кривой y по представлению, как описано выше. х = х(1), г = г(1), р = [[х(1), г (()], (52.26） В рассматриваемом случае контур y0 является проекцией кривой y. As показано, что Нормаль V с явным представлением поверхности образует ось Og и острый угол (см.§ 51.1). так, если смотреть на поверхность 5 с положительного направления оси Og, то контур y ориентирован против часовой стрелки.

То есть направление кривой y совпадает с нормалью V «по правилу штопора» (рис.211).Это эквивалентно тому, что наблюдатель ходит по поверхности 5, меняя направление. 52.4.Стокса Двести восемьдесят девять Посмотрите на контур y от края нормали V и посмотрите на поверхность 5 слева. Такая визуальная интерпретация направления нормали V и непротиворечивости контура y имеет то преимущество, что она не связана с выбором системы координат и остается действительной не только для явно заданной поверхности, но и для любой поверхности 5, рассматриваемой в теореме Стокса. Конечно, не все такие аргументы являются математическими доказательствами, но они только помогают объяснить уравнение Стокса.

Обратите внимание, что формула Стокса остается действительной при принятии противоположного направления контура и противоположного вектора нормали. Людмила Фирмаль

In в этом случае обе стороны равенства (52.21) меняют знак на противоположный） Стокса чиновник говорит ориентируемая кусочно гладкая поверхность 5= {5、-} 5 = [\то есть, поверхность 5 -, 1 = 1, 2,…10 также могут быть доказаны для тех, которые удовлетворяют условиям доказанной теоремы. 3.In в этом случае кромка поверхности g8 (см. раздел 50.11) представляет собой конечное число замкнутых контуров y、-、/ = 1、2、…может быть настроен с/ о. Чтобы доказать это, каждая поверхность 5、-、1 = 1、2、…, «Достаточно написать уравнения Стокса 0 и сложить их (см. обобщение уравнений Грина§ 47.5 и теорему Остроградского-Гаусса§ 52.3). ） Также отметим, что в теореме 3 для упрощения доказательств было введено условие двойной непрерывной Дифференцируемости поверхности 5(в данном случае.

Об инвариантности понятий градиента, дивергенции и вихря.	Соленоидальные векторные поля.
Формула Остроградского-Гаусса. Геометрическое определение дивергенции.	Потенциальные векторные поля.