Формула Остроградского-Гаусса. Геометрическое определение дивергенции

Оглавление:

Формула Остроградского-Гаусса. Геометрическое определение дивергенции

Формула Остроградского-Гаусса. Геометрическое определение дивергенции. Просто C-это площадь пространства Щуга. На плоскости y функции p (x, y) и φ (x, y) непрерывны в замкнутой области η (x, y) GR (X, y), (x, y) e (x, y) и, в некоторых случаях, 52, так что граница C состоит из 2 поверхностей и 32, соответственно, определенных явными выражениями r = p (x, y) и r =φ (X, Y).Скалярные и векторные поля 282. Из части 50 цилиндра, которая является границей доменной стенки в области 50 (см.§ 44.1).Мы также предполагаем, что 50 и 32 являются кусочно-гладкими поверхностями(рис. 210). Внешняя Нормаль V гладкой поверхности детали 5 является ее направлением. Эти ориентации приводят к тому, что гладкие части поверхности 5 ориентируются согласованным образом (см.§ 50.11) и, таким образом, вся поверхность 5 ориентируется.

Эта ориентация получается, если для каждой гладкой части поверхности выбрать ориентацию кромки, которая соответствует внешней нормали V этой части в соответствии с правилом штопора. Людмила Фирмаль

Каждый из них представляет собой поверхность 5 и поверхность 5. 5+, 5o, 5 ^и 52 выбранной ориентации (называемой положительной) равны 52 соответственно. Здесь «нижняя» это положительная ориентация для поверхности 5^, а «верхняя» для поверхности 1 ^ 5e(см. 51.1). В рассматриваемом случае выбор нормального V может быть легко описан непосредственно. То есть оно не влечет за собой понятия» внешний » normals. At в точке поверхности 5b, где присутствует Нормаль, необходимо выделить нормали, образующие оси Og и obtone, а в точке поверхности 52-острую angle. In условия поверхности 50, выбор нормалей для наших целей безразличен, как показано ниже.

Поскольку эти нормали всегда перпендикулярны оси, они принимают Интеграл в виде поверхности, равной нулю при 50 (51.7) относительно нормального выделения Oh Предположим, что область O имеет свойства, аналогичные указанным выше для всех осей. Такая область называется элементарной областью (см.§ 47.5). пример базовой области показан на рисунке. 210). cosa, COS, cos y обозначает Косинус направления единичной внешней нормали V поверхности 5. y =(cosa, возраст, cos y). 52.3.Формула остро грацки-Гаусса Двести восемьдесят три Теорема 1 (Остроградский-Гаусс*)).Предположим, что в замыкании o области O указанного выше типа функции P = P (x, y, r), g = C} (x, y, r) и= = H (x, y, r) являются смежными Его частные производные. И затем… + ^ ах ах = я(Pso8a + @ c08P +#потому что） И 5+ (52.12).

Это выражение можно переписать в следующем виде, предполагая, что a =(P, (}.)): ССНУайх1уйг-§ай8+, (52.13). То есть интеграл по области расхождения векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область. Доказательство. Например, интегралы Да. Используйте обозначения, представленные в начале этого раздела, чтобы получить: Ш * * * * ИР ^ ’ 0 Р * -Ф {Х, г） yhyu = ■Ю. Г. = 5NYA [y’H(.Г)] К [х, г, Ф(Х, Y)]} dhyu = г = 55 I(x, y, r) dhyu + 1 \ I (x, y, r) yhyu. (52.14） Кроме того, обратите внимание, что равенство cos y = 0 выполняется на поверхности 50 (см. (51.7)).） 55 я (х, г, р) yhyu-55 р (х, у, Z) потока У3-0. Три％ Итак, формула (52.14) является yhyudg = = 55 Yadhyu + 55 Kyhau +§Yayhu = 55 Yayhu. (52.15).） 5 ^ 57 57 5+ * М. В. Остроградский (1801-1861) русский математик; К. Ф. Гаусс(1777-1855) немецкий математик.

Непрерывность частной производной на границе понимается как непрерывная непрерывность области до границы. 52.Скалярные и векторные поля Двести восемьдесят четыре Формула доказывает точно так же если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться ко мне. Ык-yyyudg =§§ 2dgdh、 (52.16)） По определению (51.7) и (51.12) добавляя (52.15) и (52.16), вы получаете выражение (52.12).Это называется остроградская формула ски-Гаусса. Ноль Выражение (52.12) удобно использовать в следующем виде (!Γ+!7 +§§Γ)^ x ^ 2 = и RLuig + ax + Khyhu * Эффективность такой нотации непосредственно вытекает из определения поверхностной фракции 2-го класса. (51.7) и (51.12).

В этом случае вся граница S области D также будет кусочно-гладкой поверхностью, и, кроме того, она будет ориентироваться как кусочно-гладкая поверхность, которая является границей области. Людмила Фирмаль

Уравнение остроглацкого-Гаусса(52.12) также может быть доказано в случае более общего вида области O, то есть если в области O -, 7 = 1, 2, существует конечное разбиение…0 того типа, который мы рассмотрели выше: для этого достаточно написать формулу Остроградского для каждой области O и сложить результаты obtained. As в результате вы получите нужную формулу для площади O. In дело в том, что в левой части уравнения аддитивность интеграла дает ешние нормали в точке границы O, принадлежащей двум таким областям, граница существенной части границы O указывает в разные стороны за счет того, что соответствующий Интеграл области O получается и расположен на правой стороне.

Скалярные и векторные поля. Определения.	Формула Стокса. Геометрическое определение вихря.
Об инвариантности понятий градиента, дивергенции и вихря.	Соленоидальные векторные поля.